数学证明题,求解已知四边形ABCD为任意四边形,分别以其四边为斜边作等腰直角三角形,如图,求证EG=FH
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 08:11:43
数学证明题,求解已知四边形ABCD为任意四边形,分别以其四边为斜边作等腰直角三角形,如图,求证EG=FH
数学证明题,求解
已知四边形ABCD为任意四边形,分别以其四边为斜边作等腰直角三角形,如图,求证EG=FH
数学证明题,求解已知四边形ABCD为任意四边形,分别以其四边为斜边作等腰直角三角形,如图,求证EG=FH
作FM⊥AB,GN⊥BC,HP⊥CD,EQ⊥AD,M、N、P、Q为垂足
故：∠FMB=∠GNB=∠EQA=∠HPD=90°
取AC中点O,连接OM、ON、OP、OQ、OF、OG、OH、OE
根据等腰直角△及中位线定理,可知：
EQ=1/2•AD=OP,HP =1/2•CD=OQ
FM=1/2•AB=ON,GN=1/2•BC=OM
ON‖AB,OM‖BC,OP‖AD,OQ‖CD
故：∠OMB+∠ABC=∠ONB+∠ABC=180°,
∠MON=∠ABC,∠POQ=∠ADC
故：∠OMB=∠ONB
故：∠OMF=∠ONG
故：△OMF≌△GNO
同理：△OPH≌△EQO
故：OF=OG,OE=OH,∠GON=∠FOM,∠EOQ=∠HOP
通过四边形内角和为360°及角的转换可知：∠FOH=∠EOG
故：△EOG≌△HOF
故：EG=FH
以G点为中心，对△BGF按逆时针旋转90°，则B→C，设F→M。
显然有 MC=BF，且MC⊥BF，又BF=AF,BF⊥AF，所以 MC‖AF，MC=AF。
所以四边形AFCM是平行四边形。
从而MF与AC互相平分，即AC的中点O亦为MF的中点。
因为FM是等腰直角△FGM的斜边，故△GOF为等腰直角三角形。
因此GO⊥FO 且GO=FO。
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以G点为中心，对△BGF按逆时针旋转90°，则B→C，设F→M。
显然有 MC=BF，且MC⊥BF，又BF=AF,BF⊥AF，所以 MC‖AF，MC=AF。
所以四边形AFCM是平行四边形。
从而MF与AC互相平分，即AC的中点O亦为MF的中点。
因为FM是等腰直角△FGM的斜边，故△GOF为等腰直角三角形。
因此GO⊥FO 且GO=FO。
同理可证EO=HO,EO⊥HO
而∠EOG=90°+∠EOF=∠FOH。所以△EOG≌△FOH，
于是得:EG=FH
证明过程按照楼主的图会别扭些，楼主可以把角B画成锐角。
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以平行四边形四边向外作四个正方形，求证该四个正方形的中点构成一正方形。
运用Von.Aubel定理即可证明。
Von.Aubel定理: 以任意四边形ABCD的边为斜边作四个转向相同的等腰直角三角形ΔABE，ΔBCF，ΔCDG，ΔDAH。则:EG=FH，EG⊥FH。
证明 连AC，取AC的中点O，连EO，FO，GO，HO。EG，FH的交点为Q。
根据上述引理知...
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以平行四边形四边向外作四个正方形，求证该四个正方形的中点构成一正方形。
运用Von.Aubel定理即可证明。
Von.Aubel定理: 以任意四边形ABCD的边为斜边作四个转向相同的等腰直角三角形ΔABE，ΔBCF，ΔCDG，ΔDAH。则:EG=FH，EG⊥FH。
证明 连AC，取AC的中点O，连EO，FO，GO，HO。EG，FH的交点为Q。
根据上述引理知:EO=FO，EO⊥FO，GO=HO，GO⊥HO，
而∠EOG=90°+∠EOH=∠FOH。所以△EOG≌△FOH，
于是得:EG=FH
其实EG还垂直于FH
EG=FH ，∠GEO=∠HFO，
因此得E，F，O，Q四点共圆，即得: ∠EOF=90°=∠EQF。
故EG⊥FH。证毕。
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