一个函数可导,怎么证明它的导数连续函数 f 可导，且f的导数在a点有极限，求证f的导数在a点连续

一个函数可导,怎么证明它的导数连续函数 f 可导，且f的导数在a点有极限，求证f的导数在a点连续
一个函数可导,怎么证明它的导数连续
函数 f 可导，且f的导数在a点有极限，求证f的导数在a点连续

一个函数可导,怎么证明它的导数连续函数 f 可导，且f的导数在a点有极限，求证f的导数在a点连续
楼上二位的证明方法都有问题,以下才是严格的证明.
证明：用反证法,设
lim (x趋于a) f'(x) = L,就是要证 L = f'(a),那么我们先假设L > f'(a).
如此一来,取L' = (L+f'(a)) / 2 > f'(a),根据函数极限的定义,对于
epsilon = (L-f'(a))/2 > 0,存在一个x的邻域 delta(x),使得在这个邻域内的任意一个x,都有,
| f'(x) - L | < epsilon, 推出 f'(x) > L - epsilon = L'.
然后考虑在a点导数的定义：
lim (x趋于a) [f(x) - f(a)] / (x-a) = f'(a),
考虑闭区间 [a,x] （或者 [x,a],取决于从哪个方向趋近于a,不过无所谓的）,由于函数在该闭区间上连续,在开区间 (a,x)上可导,故根据拉格朗日微分中值定理,存在 c 属于 (a,x),使得
[f(x) - f(a)] / (x-a) = f'(c),
接着,由于当x趋于a时, c也是趋于a的,所以最终,c一定会进入到刚才所说的x的邻域 delta(x)（注意我的epsilon 和邻域都已经取定了,对于固定的一个区间,只要c充分接近a,就一定会进入到这个区间）,到那个时候,就总是有
f'(c) > L',这样一来,当c趋于a时,由于函数极限的保号性,就有
f'(a) >= L' > f'(a),这显然是一个矛盾.
同理,你也可以证明,当L < f'(a)时也会出现矛盾,L'的取法还是一样, epsilon 你取 (f'(a) - L)/2即可.保证可以证的出来,不是一楼说的有问题.
还有问题可以追问.

f 可导，则 f 连续
a点有极限，则点a处f可导，且存在二阶导数（ 二阶导大于零，a为极小值；二阶导小于零，a为极大值 ）
二阶导数存在，则a点的导数可导
所以f的导函数在a点处连续
连续不一定可导，可导一定连续 这是定理
就是这么证明的...

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f 可导，则 f 连续
a点有极限，则点a处f可导，且存在二阶导数（ 二阶导大于零，a为极小值；二阶导小于零，a为极大值 ）
二阶导数存在，则a点的导数可导
所以f的导函数在a点处连续
连续不一定可导，可导一定连续 这是定理
就是这么证明的

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即证明在可导点的左右极限是否相等，相等便连续；否则不连续

只需证明f的导数在a点的左极限等于右极限就可以了
我相信你会证左右极限相等哈题目没有给函数的表达式，都是抽象函数。。。这个真不会证。。。。这样吧，我给你说个结论看你们老师不讲过没，就是：一个函数的导数存在，那么它的原函数连续，这是个充分不必要条件。 证明不好证，我们用反证法吧，假设不连续----推出矛盾，最后得出连续吧，我就不给你证了，我要上班去了...

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只需证明f的导数在a点的左极限等于右极限就可以了
我相信你会证左右极限相等哈

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类似于导数极限定理：
（1）在[a,x1]点a 的右邻域应用拉格朗日中值定理：
存在ξn使：
f(x)-f(a)/x-a=f'(ξn)
由于函数 f 可导，且f的导数在a点有极限，
所以：两边令x→a+取极限，并注意（a<ξn即：ξn→a+
得：f'(a)=lim<ξn→a+>f'(ξn) (*)
(2) 应用海...

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类似于导数极限定理：
（1）在[a,x1]点a 的右邻域应用拉格朗日中值定理：
存在ξn使：
f(x)-f(a)/x-a=f'(ξn)
由于函数 f 可导，且f的导数在a点有极限，
所以：两边令x→a+取极限，并注意（a<ξn即：ξn→a+
得：f'(a)=lim<ξn→a+>f'(ξn) (*)
(2) 应用海涅定理：由于（*）可知：
存在一个点列：{ξn}满足：ξn→a+
且：f'(ξn)→f'(a)
则由充要条件可知：当x→a+时，有f'(x)→f'(a)
同理，在[x2,a]上，可证明：
当x→a-时，有f'(x)→f'(a)
所以：limf'(x)=f'(a).

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函数可导，它的导数未必连续