数学题f(x)定义域为D,f(x)满足下列条件,f(x)定义域为D,f(x)满足下列条件,则称f(x)为闭函数 ①f（x）在D内是单调函数②存在[a,b]∈D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b],f(x)=（2x+1）开根号+k为闭函数,k的取
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/02 19:39:29
数学题f(x)定义域为D,f(x)满足下列条件,f(x)定义域为D,f(x)满足下列条件,则称f(x)为闭函数 ①f（x）在D内是单调函数②存在[a,b]∈D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b],f(x)=（2x+1）开根号+k为闭函数,k的取
数学题f(x)定义域为D,f(x)满足下列条件,
f(x)定义域为D,f(x)满足下列条件,则称f(x)为闭函数 ①f（x）在D内是单调函数②存在[a,b]∈D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b],f(x)=（2x+1）开根号+k为闭函数,k的取值范围是————
答案是-1＜k≤-½求详解
数学题f(x)定义域为D,f(x)满足下列条件,f(x)定义域为D,f(x)满足下列条件,则称f(x)为闭函数 ①f（x）在D内是单调函数②存在[a,b]∈D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b],f(x)=（2x+1）开根号+k为闭函数,k的取
显然,函数定义域为 D=[-1/2,+∞）,且在D上,函数为增函数,
因此,若存在 [a,b]∈(应该是包含于,而不是属于)D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b],
则 f(a)=a,且f(b)=b,
因此,√(2x+1)+k=x有两个不同的实根 x=a和x=b（均大于或等于k）.
由 √(2x+1)+k=x得 √(2x+1)=x-k,
两端平方,展开并整理得 x^2-2(k+1)x+k^2-1=0,
所以,｛Δ=4(k+1)^2-4(k^2-1)>0,（1）
｛(x1-k)+(x2-k)=(x1+x2)-2k=2(k+1)-2k>0 (2)
｛(x1-k)(x2-k)=x1*x2-k*(x1+x2)+k^2=(k^2-1)-2k(k+1)+k^2>=0 （3）
解（1）得 k>-1；
解（2）得 k∈R；
解（3）得 k
（1）由题意，y=-x3在[a，b]上递减，
则 解得 （4分）
所以，所求的区间为[-1，1]；（5分）
（2）取x1=1，x2=10，则 ，
即f（x）不是（0，+∞）上的减函数．
取 ，
，
即f（x）不是（0，+∞）上的增函数
所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，
从而该函数不是闭函数；（9分）
（3）...
全部展开
（1）由题意，y=-x3在[a，b]上递减，
则 解得 （4分）
所以，所求的区间为[-1，1]；（5分）
（2）取x1=1，x2=10，则 ，
即f（x）不是（0，+∞）上的减函数．
取 ，
，
即f（x）不是（0，+∞）上的增函数
所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，
从而该函数不是闭函数；（9分）
（3）若 是闭函数，则存在区间[a，b]，
在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，
即 ，∴a，b为方程 的两个实数根，
即方程x2-（2k+1）x+k2-2=0（x≥-2，x≥k）有两个不等的实根（11分）
当k≤-2时，有 ，解得 ，（13分）
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