求f(x)=lg(-x^2+3x+4)的单调区间和值域
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 13:22:56
求f(x)=lg(-x^2+3x+4)的单调区间和值域
求f(x)=lg(-x^2+3x+4)的单调区间和值域
求f(x)=lg(-x^2+3x+4)的单调区间和值域
-x^2+3x+4>0求得X的取值范围,-1 < X < 4.
令：-1 < X1 < X2 < 4 ；
F(X2)-F(X1)=Lg[-(x2)^2+3(x2)+4]-Lg[-(x1)^2+3(x1)+4]=Lg[(x2)-4]-Lg[(x1)-4]+Lg[(x2)+1]-Lg[(x2)+1];
由对数函数的性质可知：底数a大于1时为增函数,因此,Lg[(x2)-4] > Lg[(x1)-4]
Lg[(x2)+1] > Lg[(x2)+1]
故：F(X2)-F(X1) >0 F(x)为增函数.
同样：因为F(x)为增函数,
所以当 -x^2+3x+4 最大时F(x)最大,
-x^2+3x+4 最小时F(x)最小.
令G(X)= -x^2+3x+4 且 -1 < X < 4
由二次函数的性质可知 G(X)为一个开口向下的对称轴为X=3/2 此时对应的也是G(X)的最大值,并且满足-1 < X < 4,所以G(X)值域为：（0 ,25/4]
故F(X)值域为：（-∞,Lg25/4).
由题知：(-x^2+3x+4)>0 （即解一元二次方程）解得X:?(-1,4)
z=-x^2+3x+4
z>0
-1
函数z在x∈（-1，3/2）单调增；x∈【3/2,4）单调减。
所以：
单调区间：x（-1，3/2）单调增；【3/2,4）单调减。
由函数lgx的图像可知值域：（-∞，lg25/4】
全部展开
z=-x^2+3x+4
z>0
-1
函数z在x∈（-1，3/2）单调增；x∈【3/2,4）单调减。
所以：
单调区间：x（-1，3/2）单调增；【3/2,4）单调减。
由函数lgx的图像可知值域：（-∞，lg25/4】
（补充）
同时，我看了楼下的答案，比我回答的迟一些吧！其中犯了一个很细小的错误，x是可以等于3/2时f（x）是可以取到lg25/4的，因而，应该是（-∞，lg25/4】
收起
1.设z=3x-x^2 则f(x)=1000^z
z=-x^2+3x=-(x-3/2)^2+9/4
所以z≤9/4
因为lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x)
所以3x≥0 且 3-x≥0
所以定义域：0≤x≤3
所以-3/2≤x-3/2≤3/2
所以0≤-(x-3/2)^2+9/4≤9/4
即0≤z≤9/4 <...
全部展开
1.设z=3x-x^2 则f(x)=1000^z
z=-x^2+3x=-(x-3/2)^2+9/4
所以z≤9/4
因为lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x)
所以3x≥0 且 3-x≥0
所以定义域：0≤x≤3
所以-3/2≤x-3/2≤3/2
所以0≤-(x-3/2)^2+9/4≤9/4
即0≤z≤9/4
所以1000^0≤1000^z≤1000^(9/4)
即1≤f(x)≤10^(27/4)
所以f(x)的值域为[1，10^(27/4)]
收起