已知函数f(x)=xe^-x(x属于R) 如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),证明x1+x2>2
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 16:51:39
已知函数f(x)=xe^-x(x属于R) 如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),证明x1+x2>2
已知函数f(x)=xe^-x(x属于R) 如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),证明x1+x2>2
已知函数f(x)=xe^-x(x属于R) 如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),证明x1+x2>2
由于f（x）＝xe^（－x）,x∈R
所以x＝f（x）/（e^x）
由题意,可以设f（x1）＝f（x2）＝K
所以：x1＝f（x1）/（e^x1）＝K/（e^x1）
同理：x2＝K/（e^x2）
考虑到x1与x2的对称性,不妨设x10,f（x）单调减少.
因为f（x1）－f（x2）＝（x1－x2）f'（s）＝0……中值定理
其中x1
你好
证明：
f'(x)=(1-x)e^(-x)，当f'(x)=0时，有x=1。当x＞1时，f'(x)＜0；当x＜1时，f'(x)＞0。所以，在x=1时f(x)取得极大值和最大值。
又当x趋近于+∞时，f(x)正向趋近于0，且f(0)=0，所以，如果存在x1≠x2使得f(x1)=f(x2)，不失一般性令x1＜x2，则0＜x1＜1，x2＞1。
对于任意的x...
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你好
证明：
f'(x)=(1-x)e^(-x)，当f'(x)=0时，有x=1。当x＞1时，f'(x)＜0；当x＜1时，f'(x)＞0。所以，在x=1时f(x)取得极大值和最大值。
又当x趋近于+∞时，f(x)正向趋近于0，且f(0)=0，所以，如果存在x1≠x2使得f(x1)=f(x2)，不失一般性令x1＜x2，则0＜x1＜1，x2＞1。
对于任意的x∈(0,1)，分别取两点1-x、1+x。现在比较f(1-x)和f(1+x)的大小。
f(1+x)-f(1-x)=[1+x-(1-x)e^(2x)]/e^(1+x)
令分子部分为g(x)=1+x-(1-x)e^(2x)，x∈(0,1)。求导有g'(x)=1+(2x-1)e^(2x)，x∈(0,1)。
当x=0时，g'(x)=0；当x＞0时，1+(2x-1)e^(2x)单调递增且大于0。所以，在(0,1)上g(x)是单调增函数，且g(x)＞g(0)=0，有f(1+x)-f(1-x)＞0，即f(1+x)＞f(1-x)！！
因为0＜1-x＜1、1+x＞1、f(x)在[1,+∞)上单调递减且f(1+x)＞f(1-x)，所以在1+x点的右侧必能找到一点x2，使得f(1-x)=f(x2)，x2＞1+x。
故(1-x)+x2＞(1-x)+(1+x)=2
令1-x=x1，则为x1+x2＞2
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