如图,空间四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA=AC=BD=a,E、F分别是棱BC、AD的中点,求异面直线AE、CF所成角的余弦值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 03:06:45
如图,空间四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA=AC=BD=a,E、F分别是棱BC、AD的中点,求异面直线AE、CF所成角的余弦值.
如图,空间四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA=AC=BD=a,E、F分别是棱BC、AD的中点,求异面直线AE、CF所成角的余弦值.
如图,空间四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA=AC=BD=a,E、F分别是棱BC、AD的中点,求异面直线AE、CF所成角的余弦值.
首先为了方便解题,设a=2,忽略a值得代入,以方便计算.
如图做辅助线 GF∥AE, AG∥EF,交于G；则∠GFC就等于异面直线AE、CF所成角.
由题分析得：EC=AF=GH=0.5a=1(此后不再代入a）计算得：AE=CF=√3（直角三角形中求）,
平行四边行中 GF=AE 所以 GF=AE=CF=√3.
EF⊥BC 且 ⊥ AD,EF=√（AE^2-AF^2）=√2.
BC⊥AE 且BC⊥EF 所以BC⊥面EEFG,EG在平面EFGH上 所以BC⊥EG；同理得 AD⊥面BFC,而EF在面BFC上,所AD⊥EF.
再做辅助线：延长EF到H 使得GH⊥EH,则F为EH的中点,即EH=2EF=2√2,
在△GEH中 GH⊥EF,所以EG=√（GH^2+EH^2）=3.
在△GEC中 CG=√（EC^2+EG^2）=√10.
现在看△CFG,图中紫色放大部分.CF=FG=√3,CG=√10 已经计算出来了,明显为钝角等腰三角形.做GI⊥CF延长线交于I.则ctg∠GFC=ctg∠GFI=FI/GI,设FI=y GI=x
根据两个直角三角形设方程 得x^2+y^2=(FG)^2=3 ①
（x+CF)^2+y^2=(CG)^2=10 即（x+√3）^2+y^2)=10 ②
解得 x=（2√3）/3,y=（√15）/3.
所以ctg∠GFC=FI/GI=y/x=(2√5)/5
即所求角余弦值为(2√5)/5 （五分之二 根号五）