已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,线段BC的垂直平分线上DE交AB于点D,交BC于点E,DF垂直AC,垂足为F.求证:DF是线段AC的垂直平分线.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/18 16:39:46
已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,线段BC的垂直平分线上DE交AB于点D,交BC于点E,DF垂直AC,垂足为F.求证:DF是线段AC的垂直平分线.
已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,线段BC的垂直平分线上DE交AB于点D,交BC于点E,DF垂直AC,垂足为F.求证:DF是线段AC的垂直平分线.
已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,线段BC的垂直平分线上DE交AB于点D,交BC于点E,DF垂直AC,垂足为F.求证:DF是线段AC的垂直平分线.
证明:
DE是BC的垂直平分线.
∠C=90°
所以DE平行于AC
BE=CE
所以AD=DB(平行线等分线段定理)
DF垂直AC
所以DF平行于BC
因为AD=DB
所以AF=FC(平行线等分线段定理)
即DF是线段AC的垂直平分线
证:∵BE=CE,DE⊥BC,DF⊥AC,∠C= Rt∠
∴∠EDF=RT∠
∴四边形DECF为矩形
∴DE:AC=1:2
∴DF是AC的垂直平分线
还可以用全等三角形、相似三角形证明。
因为 DF垂直AC,∠C=90°,DE是线段BC的垂直平分线
所以 DF平行于BC,DE平行于AC
所以 DE=FC
因为 DF平行于BC,DE平行于AC,AD=BD
所以 三角形ADF全等于DBE
所以 DE=AF
所以 FC=AF
所以 DF是线段AC的垂直平分线
因为∠C=90°,DF垂直AC,DE垂直BC,四角形内角和为360度,所以DE垂直DF,由此可知DF平行CE,DE平行FC,即四边形DECF为平行四边形,所以有,DE=CF,DF=CE,∠ADF=∠DBE,又DE为BC的垂直平分线,所以有BE=CE,又DF=CE,所以DF=BE.而∠ADF=∠DBE,∠AFD=∠BED,从而可知三角形AFD全等三角形DEB,所以有AF=DE,又CF=DE,所以AF...
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因为∠C=90°,DF垂直AC,DE垂直BC,四角形内角和为360度,所以DE垂直DF,由此可知DF平行CE,DE平行FC,即四边形DECF为平行四边形,所以有,DE=CF,DF=CE,∠ADF=∠DBE,又DE为BC的垂直平分线,所以有BE=CE,又DF=CE,所以DF=BE.而∠ADF=∠DBE,∠AFD=∠BED,从而可知三角形AFD全等三角形DEB,所以有AF=DE,又CF=DE,所以AF=CF,而DF垂直AC,所以DF是线段AC的垂直平分线。
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