全等三角形问题~如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过点C作CF⊥AE,垂足为F,过点B作BD⊥BC交CF的延长线于D.（1）求证AE=CD（2）若AC=12cm,求BD之长
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 12:44:40
全等三角形问题~如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过点C作CF⊥AE,垂足为F,过点B作BD⊥BC交CF的延长线于D.（1）求证AE=CD（2）若AC=12cm,求BD之长
全等三角形问题~
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过点C作CF⊥AE,垂足为F,过点B作BD⊥BC交CF的延长线于D.
（1）求证AE=CD
（2）若AC=12cm,求BD之长
全等三角形问题~如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过点C作CF⊥AE,垂足为F,过点B作BD⊥BC交CF的延长线于D.（1）求证AE=CD（2）若AC=12cm,求BD之长
这道题目有两种情况：分锐角三角形和钝角三角形.
当△ABC是锐角三角形时,
∵AD⊥BC BE⊥AC
∴∠BEC=∠ADC=∠BDH=90°
又∵∠ACD=∠BCE
∴∠CAD=∠CBE（等角的余角相等）
∵∠BDA=90° BH=AC
∴△ADC≌△BDH（AAS）
∴BD=AD（全等三角形的对应边相等）
∴∠ABC=∠BAD（等边对等角）
又∵∠BDA=90°
∴∠ABC=45°
当△ABC是钝角三角形时,
∵AD⊥BC BE⊥AC
又∵∠DBH=∠CBE
∴∠C=∠H（等角的余角相等）
又∵ BH=AC
∴△BDH≌△ADC（AAS）
∴BD=AD（全等三角形的对应边相等）
∴∠ABD=∠BAD（等边对等角）
又∵∠BDA=90°
∴∠ABD=45°
∴∠CBA=135°
综上所述,∠ABC=45° 或∠ABC=135° .
一看题目肯定就是证△DBC 全等 △ECA
∠ACE=∠DBC=90°
AC=BC
所以现在只需找一边或者一角就行了。
又因为CF⊥AE，∠CFE=∠ACE=90°
∠EFC=∠AEC，
所以△EFC相似于△CEA，
所以有∠ECF=∠EAC=∠DCB
所以△DBC 全等 △ECA
下面的不难证了吧...
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一看题目肯定就是证△DBC 全等 △ECA
∠ACE=∠DBC=90°
AC=BC
所以现在只需找一边或者一角就行了。
又因为CF⊥AE，∠CFE=∠ACE=90°
∠EFC=∠AEC，
所以△EFC相似于△CEA，
所以有∠ECF=∠EAC=∠DCB
所以△DBC 全等 △ECA
下面的不难证了吧
收起
(1)∵AC=BC ∠ACF+∠FCA=90° ∠FCE+∠CEF=90° ∴∠ACF=∠CEF ∴∠CAE=FCE=∠DCB 在ΔACE 与 ΔCBD中∠CAD=∠DCB ∠DBC=∠ECA AC=BC 所以ΔACE≡ΔDCB ∴AE=CD
(2)∵AC=12 ∴BC=12=2BE=2EC ∴BD=6(这是源于问题一的结论)
⑴∵DB⊥BC,CF⊥EF, ∠FCE=∠DCB∴∠D=∠FEC
又AC⊥BC,AC=BC,∴⊿BDC≌⊿CEA,∴AE=CD
⑵AC=BC=12cm，由全等得BD=CE=½BC=6cm
在△ACE和△DBC中
∠DBC=∠ACE=90
∠DBC=∠EAC(这两个角加上角DCA都等于90度)
AC=BC
所以△ACE和△DBC全等
DB=CE
因为AC=BC,E是BC中点，所以DB=6