数列[an},a1=2,an+1=an+2^n+1,设{bn}满足bn=2log2(an+1-n),证明(1+1/b1)(1+1/b2)……(1+1/bn)对一切n为正整数成立

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/22 01:54:47
数列[an},a1=2,an+1=an+2^n+1,设{bn}满足bn=2log2(an+1-n),证明(1+1/b1)(1+1/b2)……(1+1/bn)对一切n为正整数成立数列[an},a1=2,

数列[an},a1=2,an+1=an+2^n+1,设{bn}满足bn=2log2(an+1-n),证明(1+1/b1)(1+1/b2)……(1+1/bn)对一切n为正整数成立
数列[an},a1=2,an+1=an+2^n+1,设{bn}满足bn=2log2(an+1-n),证明(1+1/b1)(1+1/b2)……(1+1/bn)对一切n为正
整数成立

数列[an},a1=2,an+1=an+2^n+1,设{bn}满足bn=2log2(an+1-n),证明(1+1/b1)(1+1/b2)……(1+1/bn)对一切n为正整数成立
因为a(n+1)=a(n)+2^n+1
所以a(n+1)-2^(n+1)=a(n)-2^n+1
所以{a(n)-2^n}是等差数列,d=1
因为a1-2^1=0
所以a(n)-2^n=n-1
a(n)=n+2^n+1
b(n)=2log2(2^n+2)
然后用数学归纳法
当n=1,因为左边=1+1/(2log(2)4)=5/4
右边=根号2
所以原式成立
设n=k时 (1+1/b1)(1+1/b2).(1+1/b2)>根号(n+1)当n=k+1时因为左边=(1+1/b1)(1+1/b2)(1+1/b3).(1+1/bn)(1+1/b(n+1))>根号(n+1)*(1+1/b(n+1)后面的证明我就不知道了,也许这是高考的一道压轴题

(1+1/b1)(1+1/b2)……(1+1/bn)是等式吗?