已知公差不为0的等差数列an的首项为a,且1/a1,1/a2,1/a4成等比数列,试比较1/a1+1/a2^2+1/a2^3+……+1/a2^n与1/a1的大小
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 09:44:56
已知公差不为0的等差数列an的首项为a,且1/a1,1/a2,1/a4成等比数列,试比较1/a1+1/a2^2+1/a2^3+……+1/a2^n与1/a1的大小
已知公差不为0的等差数列an的首项为a,且1/a1,1/a2,1/a4成等比数列,试比较1/a1+1/a2^2+1/a2^3+……+1/a2^n与1/a1的大小
已知公差不为0的等差数列an的首项为a,且1/a1,1/a2,1/a4成等比数列,试比较1/a1+1/a2^2+1/a2^3+……+1/a2^n与1/a1的大小
设该等差数列公差为d,则依题
a1,a2,a4为等比数列
即a(a+3d)=(a+d)^2
即a^2+3ad=a^2+2ad+d^2
故ad=d^2
因为d≠0,
所以a=d
an=a*n
问题可能把第一个式子里的1/a2写成1/a1了
1/a2+1/a4+1/a8+...+1/a2^n=1/2a*(1+1/2+1/4+...+1/2^n)……1）
1/a1=1/a……2）
由等比数列求和极限公式知1）<2)
首项为a，设这个等差数列的公差是d，则：
(1/a2)²=(1/a1)×(1/a4) ===>>>>> a(a＋3d)=(a＋d)² ===>>>> ad=d² ===>>> a=d
则：an=na
设：M=1/a2＋1/a4＋1/a8＋…＋1/a2^n
=1/(2a)＋1/(4a)＋1/(8a)＋…＋1/[(2^...
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首项为a，设这个等差数列的公差是d，则：
(1/a2)²=(1/a1)×(1/a4) ===>>>>> a(a＋3d)=(a＋d)² ===>>>> ad=d² ===>>> a=d
则：an=na
设：M=1/a2＋1/a4＋1/a8＋…＋1/a2^n
=1/(2a)＋1/(4a)＋1/(8a)＋…＋1/[(2^n)a]
=(1/a)[(1/2)＋(1/2)²＋(1/2)³＋…＋(1/2)^n]
=(1/a)[1－(1/2)^n]<(1/a)=1/a1
则：1/a1＋1/a2^2＋1/a2^3＋…＋1/a2^n<1/a1
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不妨设d为该数列的公差，则An=A1+(n-1)d，则A1=a,A2=a+d,A4=a+3d
因而1/A1，1/A2,1/A4成等比，则
（1/A2）²=（1/A4）（1/A1）
（A2）²=A1A4
(a+d)²=a(a+3d)
a²+d²+2ad=a²+3ad
ad=d²
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不妨设d为该数列的公差，则An=A1+(n-1)d，则A1=a,A2=a+d,A4=a+3d
因而1/A1，1/A2,1/A4成等比，则
（1/A2）²=（1/A4）（1/A1）
（A2）²=A1A4
(a+d)²=a(a+3d)
a²+d²+2ad=a²+3ad
ad=d²
a=d
则An=na，Sn=n(n+1)a/2
a2^2=a1*a4，由等差得an=a1+（n-1）d，a1=a；带入得，an=na；则，1/a2+1/a2的平方+1/a2的3次+…+1/a2的n次与1/a1的大小 等价于 1/a2+1/a2的平方+1/a2的3次+…+1/a2的n-1次与1的大小，而1/a2的n-1次为等比
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