直角三角形的周长为8,则此三角形面积的最大值是急..
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 09:43:27
直角三角形的周长为8,则此三角形面积的最大值是急..
直角三角形的周长为8,则此三角形面积的最大值是
急..
直角三角形的周长为8,则此三角形面积的最大值是急..
1.确定为等腰直角三角形.
2.列方程求直角边.设直角边为a,2a+√2a=8,a=8/(2+√2)=4(2-√2)
3.求面积.S=[4(2-√2)]2/2=8（6-4√2）=48-32√2 = （注：中括号外的2是平方）
此三角形面积的最大值是
48-32√2
当是等腰直角三角形时，此三角形的面积最大，设直角边为a，斜边长为b，由勾股定理的a等于根号2倍b,并知2a+b等于8所以由此解得边长。
可设直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，利用勾股定理，得：
a²+b²=c²
a+b+c=4
由a+b+c=4得：4-c=a+b，两边同时平方，得：
16-8c+c²=a²+b²+2ab
16-8c+c²=c²+2ab
16-8c=2ab≤a²+...
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可设直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，利用勾股定理，得：
a²+b²=c²
a+b+c=4
由a+b+c=4得：4-c=a+b，两边同时平方，得：
16-8c+c²=a²+b²+2ab
16-8c+c²=c²+2ab
16-8c=2ab≤a²+b²=c² ·········①
整理得：
c²+8c≥16
c²+8c+16≥32
(c+4)²≥32
因为c>0，所以解得：c≥4√2-4，
由①知：ab=8-4c，所以：
面积S=1/2×ab=1/2×(8-4c)=4-2c，
可以看出，要使面积S最大，则c必须最小，由上知，斜边c的最小值为c=4√2-4，则面积的最大值为：
S最大=4-2×(4√2-4)=12-8√2
注：上面借助了基本不等式：2ab≤a²+b²，它由(a-b)²≥0展开即得，由此可知原直角三角形为等腰直角三角形时，它的面积才是最大。√表示二次根号，‘4√2-4’表示‘4倍的根号2，再减去4’。
由此知，当原直角三角形面积最大时，此时为等腰直角三角形，所以有：a=b，而c=4√2-4，a+b+c=4，从而求得：a=b=4-2√2，c=4√2-4。
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