已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为3 2 ,且经过点M（4,1）．直线l：y=x+m交椭圆于A,B两不同的点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l不过点M,求证：直线MA,MB与x轴围成等腰三角形．
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 13:59:11
已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为3 2 ,且经过点M（4,1）．直线l：y=x+m交椭圆于A,B两不同的点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l不过点M,求证：直线MA,MB与x轴围成等腰三角形．
已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为
3
2
,且经过点M（4,1）．直线l：y=x+m交椭圆于A,B两不同的点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l不过点M,求证：直线MA,MB与x轴围成等腰三角形．
（1）设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1,因为e=
3
2
,所以a2=4b2,又椭圆过点M（4,1）,所以
16
a2
+
1
b2
=1,解得b2=5,a2=20,故椭圆方程为
x2
20
+
y2
5
=1（5分）
（2） 将y=x+m代入
x2
20
+
y2
5
=1并整理得5x2+8mx+4m2-20=0,△=（8m）2-20（4m2-20）＞0得：5＞m＞-5．
设直线MA,MB斜率分别为k1和k2,只要证k1+k2=0,
设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则x1+x2 =-
8m
5
,x1x2=
4m-20
5
k1+k2=
y1-1
x1-4
+
y2-1
x2-4
=
(y1-1)(x2-4)+(y2-1)(x1-4)
(x1-4)(x2-4)
分子=（x1+m-1）（x2-4）+（x2+m-1）（x1-4）
=2x1x2+（m-5）（x1+x2）-8（m-1）
2(4m2-20)
5
-
8m(m-5)
5
-8(m-1)=0
因此MA,MB与x轴所围的三角形为等腰三角形．（14分）
为什么用K1＋K2＝0来证明等腰三角形,这个地方不懂,
已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为3 2 ,且经过点M（4,1）．直线l：y=x+m交椭圆于A,B两不同的点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l不过点M,求证：直线MA,MB与x轴围成等腰三角形．
你可以以等腰三角形的底边为坐标原点,建立一个直角坐标系!那么等腰三角形的顶点就在y轴上了!在第一象限的那条等腰三角形的腰所在的直线,它与x轴有夹角.我们可以先假设这个夹角为a.那么这条腰所在直线斜率就是k1=tana.另外一条腰它是在第二象限的,所以它的斜率就是K2=tan(π-a).所以K1+K2=tana+tan(π-a)=0.懂否?
椭圆离心率咋能大于1呢，如果我没记错椭圆的离心率在（0，1）啊
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