函数y=loga(x+3)-1(a>0,a1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,求1/m+2/n的最小值.

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/09 06:11:12
函数y=loga(x+3)-1(a>0,a1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,求1/m+2/n的最小值.函数y=loga(x+3)-1(a>0,a1)的图象恒过定点A

函数y=loga(x+3)-1(a>0,a1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,求1/m+2/n的最小值.
函数y=loga(x+3)-1(a>0,a1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,求1/m+2/n的最小值.

函数y=loga(x+3)-1(a>0,a1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,求1/m+2/n的最小值.
思路:y=log a x恒过点(1,0),可知y=loga(x+3)-1恒过点(-2,-1)
将(-2,-1)代入直线方程得
-2m-n+1=0即2m+n=1
由mn>0可知m>0,n>0
所以由ab<=[(a+b)/2]^2可知 2mn<=[(2m+n)/2]^2=1/4
所以mn<=1/8 ,当且仅当 2m=n时取等号,即m=1/4,n=1/2时取等号
从而有1/m+2/n =(2m+n)/mn=1/mn》=8
从而最小值为8