设函数f(x)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导函数f'(x)=1/x,g(x)=f(x)+f'(x).问是否存在x0＞0,使得|g(x)－g(x0)|＜1/x 对任意x＞0成立?若存在,求出x0的取值范围；若不存在,请说明理由.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 08:19:40
设函数f(x)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导函数f'(x)=1/x,g(x)=f(x)+f'(x).问是否存在x0＞0,使得|g(x)－g(x0)|＜1/x 对任意x＞0成立?若存在,求出x0的取值范围；若不存在,请说明理由.
设函数f(x)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导函数f'(x)=1/x,g(x)=f(x)+f'(x).
问是否存在x0＞0,使得|g(x)－g(x0)|＜1/x 对任意x＞0成立?若存在,求出x0的取值范围；若不存在,请说明理由.
设函数f(x)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导函数f'(x)=1/x,g(x)=f(x)+f'(x).问是否存在x0＞0,使得|g(x)－g(x0)|＜1/x 对任意x＞0成立?若存在,求出x0的取值范围；若不存在,请说明理由.
证明：假设存在x0＞0,
使|g（x）-g（x0）|＜1/x 成立,即对任意x＞0,
有 Inx＜g(x0)＜Inx+2/x ,（*）但对上述x0,取x1=eg(x0) 时,
有 Inx1=g（x0）,这与（*）左边不等式矛盾,
因此,不存在x0＞0,使|g（x）-g（x0）|＜1/x 成立．
当然,方法不止一种,这种应该比较好的.若不懂,
答：不存在这样的x0.
证明：
由于f'(x)=1/x，且x定义在(0,+∞)上，所以f(x)=lnx+C。
又因为f(1)=0，故C=0，故f(x)=lnx。
因此，g(x)=lnx+1/x。
若存在这样的x0，则假设g(x0)=t。
由：|g(x)－g(x0)|＜1/x
解得：lnx
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答：不存在这样的x0.
证明：
由于f'(x)=1/x，且x定义在(0,+∞)上，所以f(x)=lnx+C。
又因为f(1)=0，故C=0，故f(x)=lnx。
因此，g(x)=lnx+1/x。
若存在这样的x0，则假设g(x0)=t。
由：|g(x)－g(x0)|＜1/x
解得：lnx
由此形式知，对任意一个固定的δ，t都不是定值，因此对应的x0也不固定。
故不存在这样的x0使对一切正的实数x都有|g(x)－g(x0)|＜1/x成立。
证毕|
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