等腰梯形ABCD中AD平行于BC,AB=DC,P是BC延长线上一点PE垂直于AB于E,PF垂直于CD于F,BG垂直于CD于G.求PE,PF,BG之间的数量关系
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/21 04:58:07
等腰梯形ABCD中AD平行于BC,AB=DC,P是BC延长线上一点PE垂直于AB于E,PF垂直于CD于F,BG垂直于CD于G.求PE,PF,BG之间的数量关系
等腰梯形ABCD中AD平行于BC,AB=DC,P是BC延长线上一点PE垂直于AB于E,PF垂直于CD于F,BG垂直于CD于G.求PE,PF,
BG之间的数量关系
等腰梯形ABCD中AD平行于BC,AB=DC,P是BC延长线上一点PE垂直于AB于E,PF垂直于CD于F,BG垂直于CD于G.求PE,PF,BG之间的数量关系
PE=PF+BG
证明：
过点C作MN∥AB,交PE于M,过点B作BN⊥MN于N,MN交AD于H
∵等腰梯形ABCD,AB＝DC
∴∠A＝∠D
∵AD∥BC
∴∠DCP＝∠D
∴∠DCP＝∠A
∵AD∥BC,MN∥AB
∴平行四边形ABCH
∴∠A＝∠BCH
∵∠MCP＝∠BCH
∴∠MCP＝∠A
∴∠MCP＝∠DCP
∵MN∥AB,PE⊥AB
∴PE⊥MN
∵PF⊥CD
∴PM＝PF
∵∠MCP＝∠DCP
∴∠BCG＝∠BCN
∵BN⊥MN,BG⊥CD
∴BN＝BG
∵MN∥AB,BN⊥MN,PE⊥AB
∴矩形BNME
∴BN＝EM
∴BG＝EM
∵PE＝PM+EM
∴PE＝PF+BG
证明：过点P作PH⊥BG，垂足为H，（1分）
∵BG⊥CD，PF⊥CD，PH⊥BG，
∴∠PHG=∠HGC=∠PFG=90°，
∴四边形PHGF是矩形，
∴PF=HG，PH∥CD
∴∠BPH=∠C在等腰梯形ABCD中，∠PBE=∠C，
∴∠PBE=∠BPH∵∠PEB=∠BHP=90°，BP=PB，∠PBE=∠BPH，
∴△PBE≌△BPH（A...
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证明：过点P作PH⊥BG，垂足为H，（1分）
∵BG⊥CD，PF⊥CD，PH⊥BG，
∴∠PHG=∠HGC=∠PFG=90°，
∴四边形PHGF是矩形，
∴PF=HG，PH∥CD
∴∠BPH=∠C在等腰梯形ABCD中，∠PBE=∠C，
∴∠PBE=∠BPH∵∠PEB=∠BHP=90°，BP=PB，∠PBE=∠BPH，
∴△PBE≌△BPH（AAS）∴PE=BH，
∴PE+PF=BH+HG=BG．
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