在正方形ABCD中有一点P,联结PA,PB,PC,且PA=1,PB=2,PC=3,求正方形ABCD的面积
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 10:13:56
在正方形ABCD中有一点P,联结PA,PB,PC,且PA=1,PB=2,PC=3,求正方形ABCD的面积
在正方形ABCD中有一点P,联结PA,PB,PC,且PA=1,PB=2,PC=3,求正方形ABCD的面积
在正方形ABCD中有一点P,联结PA,PB,PC,且PA=1,PB=2,PC=3,求正方形ABCD的面积
本题用旋转法可以巧解.
将△PBC绕B点逆时针旋转90°至BC与AB重合,得到一个新的△AQB,可知：BQ=PB=2,QA=PC=3,∠ABQ=∠PBC,
由于∠PBC+∠ABP=90°,所以∠PBQ=∠ABQ+∠ABP=∠PBC+∠ABP=90°,则△PBQ是一个等腰直角三角形,
故：∠BPQ=45°,
由勾股定理,得:PQ^2=PB^2+BQ^2=2^2+2^2=8,
另外,在△APQ中,PA^2+PQ^2=1^2+8=9=QA^2,由勾股定理知：△APQ是一个以∠APQ为直角的直角三角形,即∠APQ=90°.
综上得：∠APB=∠APQ+∠BPQ=90°+45°=135°.
AB^2=PA^2+PB^2-2PA*PB*cosAPB=1+4-2*1*2*(-根号2/2）
=5+2根号2
即正方形的面积是：5+2根号2
5+2根号2
把中间的一个三角形旋转90度，得到一个等腰直角三角形和一个直角三角形…然后解那个135度三角形（我用的余弦定理）就得答案了
以B为圆心，把BCP绕顺时针方向转，使BC与AB重合。
点P落在点Q上，连接QP。
所以BQ=BP=2，AQ=PC=3
因为角CBP=角ABQ，所以角QBP=90度
所以QP=2*根号2，角QPB=45度
在三角形APQ中，AP=1，AQ=3，QP=2根号2
即AP平方+QP平方=AQ平方（不难看出吧）
所以角APQ=90度 <...
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以B为圆心，把BCP绕顺时针方向转，使BC与AB重合。
点P落在点Q上，连接QP。
所以BQ=BP=2，AQ=PC=3
因为角CBP=角ABQ，所以角QBP=90度
所以QP=2*根号2，角QPB=45度
在三角形APQ中，AP=1，AQ=3，QP=2根号2
即AP平方+QP平方=AQ平方（不难看出吧）
所以角APQ=90度
所以角APB=角APQ+角QPB=90+45=135度
根据余玄定理 cos135=（1^2+2^2-a^2)/(2*1*2)
解出a^2=5-2根号2 即面积
a为边长
收起
设边长为X
cos∠ABP=(x^2+3)/4x
cos∠CBP=(x^2-5)/4x
∠CBP为锐角
所以sin∠CBP）＾2=1-(cos∠CBP)^2
(sin∠CBP)^2=(-x^4+26x^2-25)/16x^2
因为
∠ABP+∠CBP=90度
所以(sin∠CBP)^2＝（cos∠ABP）＾2
x^4-10x^2+17=0
x^2=5±2√2
正方形的面积＝x^2=5±2√2