已知X.Y是实数且满足X^2+XY+Y^2-2=0,设M=X^2-XY+Y^2,则M的取值范围是
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 20:26:45
已知X.Y是实数且满足X^2+XY+Y^2-2=0,设M=X^2-XY+Y^2,则M的取值范围是
已知X.Y是实数且满足X^2+XY+Y^2-2=0,设M=X^2-XY+Y^2,则M的取值范围是
已知X.Y是实数且满足X^2+XY+Y^2-2=0,设M=X^2-XY+Y^2,则M的取值范围是
X^2+XY+Y^2-2=0
X^2+XY+Y^2=2
x^2+y^2=2-xy
又：（x-y)^2≥0
xy≤(x^2+y^2)/2=(2-xy)/2=1-xy/2
(1+1/2)xy≤1
xy≤2/3
∴M=X^2-XY+Y^2
=(X^2+XY+Y^2)-2xy
=2-2xy ≥ 2-2*2/3=2/3
即M≥2/3
当x,y同正，同负时。X^2+XY+Y^2-2大于或等于2xy+xy-2
即3xy小于或等于0，解得xy大于0小于或等于2/3
当x,y异号时，X^2+XY+Y^2-2大于或等于xy-2xy-2
即xy大于或等于-2
故xy取值范围：[-2,2/3]
M=X^2-XY+Y^2大于或等于（2xy)绝对值-xy
当xy是大于或等于0时，（2xy)绝对值-...
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当x,y同正，同负时。X^2+XY+Y^2-2大于或等于2xy+xy-2
即3xy小于或等于0，解得xy大于0小于或等于2/3
当x,y异号时，X^2+XY+Y^2-2大于或等于xy-2xy-2
即xy大于或等于-2
故xy取值范围：[-2,2/3]
M=X^2-XY+Y^2大于或等于（2xy)绝对值-xy
当xy是大于或等于0时，（2xy)绝对值-xy取值范围：[0,2/3]
当xy是小于0时，（2xy)绝对值-xy取值范围：[0,2]
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由题得：X²+XY+Y²=2 -----------------------------------------------------(1)
X²-XY+Y²=M -----------------------------------------------------(2)
(1)+(2)得：...
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由题得：X²+XY+Y²=2 -----------------------------------------------------(1)
X²-XY+Y²=M -----------------------------------------------------(2)
(1)+(2)得： X²+Y²=M/2+1 ---------------------------------------------------(3)
(1)－(2) 得： 2XY=2-M ------------------------------------------------------(4)
(3)+(4) 得：(X+Y)²=3-M/2 即：3-M/2 =(X+Y)²》0 （∵X.Y是实数，∴(X+Y)²》0）
所以，M《6
(3)-(4) 得：(X－Y)²=3M/2-1 即：3M/2-1=(X-Y)²》0 （∵X.Y是实数，∴ (X-Y)²》0）
所以，M》2/3
所以，M的取值范围是：2/3《M《6
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