三角形三边长度的计算三角形ABC中,AD是中线,∠B的平分线BE与AD垂直且相等,如果BE＝4,求三角形ABC三边长

三角形三边长度的计算三角形ABC中,AD是中线,∠B的平分线BE与AD垂直且相等,如果BE＝4,求三角形ABC三边长
三角形三边长度的计算
三角形ABC中,AD是中线,∠B的平分线BE与AD垂直且相等,如果BE＝4,求三角形ABC三边长

三角形三边长度的计算三角形ABC中,AD是中线,∠B的平分线BE与AD垂直且相等,如果BE＝4,求三角形ABC三边长
取CE的中点M,连接MD,设AD、BE交于N
因为BE平分∠ABC,AD⊥BE
所以AN＝DN＝AD/2＝2,AB＝BD＝CD
因为DM是三角形BCE的中位线
所以DM//BE,DM＝BE/2＝4/2＝2
因为AN＝DN,NE//DM
所以AE＝EM,NE＝DM/2＝1
根据勾股定理得AB＝√13,AE＝√5
所以三角形ABC的三边为：
AB＝√13,BC＝2√13,AC＝3√5

∠B的平分线BE与AD垂直 => AB=BD => BC=2AB
过D作CF平行于AC交BE于F，设AD和BE交于G
BF=FE=2
AE:EC=AB*BE:BE*BC=1:2
DF=1/2EC=AE => AGE全等于DGF => GE=GF=1
所以AB=根号(2^2+3^2)=根号13
BC=2AB=2根号13
AE=根号(2^2+1^2)=根号5
AC=3AE=3根号5

（先画出图，设ad与be交点为m）
（Sabc表示abc区域的面积）
（推导符号记为"=>"）
（这里暂且用初中的知识解题，
若要用高中三角的知识解题，请附说明）

be平分∠b,且be垂直于ad
=>
三角形abd中bm为ad的垂直平分线
由be=4
=>
am=md=0.5ad=0.5be=0.5*4=...

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（先画出图，设ad与be交点为m）
（Sabc表示abc区域的面积）
（推导符号记为"=>"）
（这里暂且用初中的知识解题，
若要用高中三角的知识解题，请附说明）

be平分∠b,且be垂直于ad
=>
三角形abd中bm为ad的垂直平分线
由be=4
=>
am=md=0.5ad=0.5be=0.5*4=2................................<1>
下面分析各边关系
根据“两三角形等底等高则其面积相等”以及bd=dc(中线)
=>
Sabe=Sbde=Sdec
又Sabe=be*am/2=4*2/2=4
=>
Sabe=Sbde=Sdec=4...................................<2>
=>
Sbec=Sbed+Sdec=4+4=8=2Sabe
根据“等高三角形面积之比等于底之比”
=>
(ae:ec)=(Sabe:Sbec)=4:8=1:2
=>
Sade:Sedc=ae:ec=1:2。。。。。。。。。。。。。（3）
在<2>中已求得Sedc=4
=>
Sade=0.5*Sedc=0.5*4=2
=>
Sadc=Sade+Sdec=2+4=6
根据bd=dc
=>
Sabd=Sadc=6
又
Sabd=ad*bm/2=2bm
=>
bm=3
根据勾股定理
=>
直角三角形abm中
ab=根号（am^2+bm^2）
=根号(2^2+3^2)
=根号13
由于abm全等于bdm
=>
bd=ab=根号13=dc
=>
bc=bd+dc=2根号13
bm=3
=>
me=be-bm=4-3=1
=》
直角三角形aem中
ae=根号（am^2+me^2）=根号5
根据已求比例数据（3）
=>
ac=3ae=3根号5
至此，三边皆已求出

收起

∵∠ABF=∠DBF，BF=BF，∠AFB=∠DFB=90°∴△ABF≌△DBF，

∴AB=BD=1/2BC，AF=FD=1/2AD=1/2BE=2

∵BE平分∠ABC，∴AE：EC=AB：BC=1：2（三角形的角平分线定理）

∴S△AED：S△CED=1：2（等高三角形的面积比等于底之比），

(S△AED表示△AED的面积，由于打不出下标，只能这么写）

设S△AED=S，则S△CED=2S，S△CAD=3S，

∴S△BAD=S△CAD=3S，（等底等高的三角形面积相等），

∴S四边形ABDE=S△BAD+S△AED=4S=12×4×4（对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半）

∴S=2，S△BAD=6=1/2×AD×BF=1/2×4×BF，BF=3，EF=1，

∴AB=根号下（2^2+3^2) =根号（13)

BC=2倍根号（13)，AB=根号下（2^2+1^2 )=根号（5)，AC=3AE=3倍根号（5)

证明：

如图，设BE交AD于点F，作DG‖BE交AC于G

∵BE平分∠B

∴∠ABF＝∠DBF

∵ABE⊥AD

∴∠AFB＝∠DFB＝90度

又BF＝BF

∴△AFB≌△DFB

∴AF＝DF＝（1/2）AD＝2

 BA＝BD

∵D是BC中点

∴BD＝DC

∴BA＝BD＝DC

∵DG‖BE，D是BC中点

∴G是EC中点，即EG＝EC，且DG＝（1/2）BE＝2

∵DG‖BE，F是AD中点

∴E是AG中点，即AE＝EG，且FE＝（1/2）DG＝1

∴BF＝BE－FE＝3

 AE＝EG＝GC

由勾股定理得

AB＾2＝AF＾2＋BF＾2

∴AB＝根号13

∴BC＝BD＋DC＝2倍根号13

AE＾2＝AF＾2＋FE＾2

∴AE＝根号5

∴AC＝AE＋EG＋GC＝3倍根号5

请原谅，图上传后可能不太标准，希望能对你有所帮助，祝你学习进步！

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