分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD,等边△ABE,已知∠BAC=30度,EF⊥AB垂足为E,连接DF求证:四边形ADEF是平行四边形
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/07 22:40:24
分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD,等边△ABE,已知∠BAC=30度,EF⊥AB垂足为E,连接DF求证:四边形ADEF是平行四边形
分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD,等边△ABE,已知∠BAC=30度,EF⊥AB垂足为E,连接DF
求证:四边形ADEF是平行四边形
分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD,等边△ABE,已知∠BAC=30度,EF⊥AB垂足为E,连接DF求证:四边形ADEF是平行四边形
因为△ADC为等边三角形,于是∠CAD=60°,AD=AC
于是∠DAF=∠CAD+∠BAC=60+30=90°,EF=AC=AD
∠AFE=∠DAF=90°,内错角相等
于是AD//EF,又因为EF=AD
于是四边形ADFE是平行四边形
证明:在Rt△ABC,∠BAC=30°,
∴∠ABC=60°,
等边△ABE中,∠ABE=60°,且AB=BE,
∵EF⊥AB,
∴∠EFB=90°,
∴Rt△ABC≌Rt△EBF,
∴AC=EF,
又在等边△ACD中,∠DAC=60°,AD=AC,
又∵∠BAC=30°,
∴∠DAF=90°,
∴AD∥EF,
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证明:在Rt△ABC,∠BAC=30°,
∴∠ABC=60°,
等边△ABE中,∠ABE=60°,且AB=BE,
∵EF⊥AB,
∴∠EFB=90°,
∴Rt△ABC≌Rt△EBF,
∴AC=EF,
又在等边△ACD中,∠DAC=60°,AD=AC,
又∵∠BAC=30°,
∴∠DAF=90°,
∴AD∥EF,
又∵AC=EF,∴AD=EF,
∴四边形ADFE是平行四边形.
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证明:(1)∵Rt△ABC中,∠BAC=30°, ∴AB=2BC, 又∵△ABE是等边三角形,EF⊥AB, ∴∠AEF=30° ∴AE=2AF,且AB=2AF, ∴AF=CB, 而∠ACB=∠AFE=90°, 在Rt△AFE和Rt△BCA中, , ∴△AFE≌△BCA(HL), ∴AC=EF; (2)由(1)知道AC=EF, 而△ACD是等边三角形, ∴∠DAC=60° ∴EF=AC=AD,且AD⊥AB, 而EF⊥AB, ∴EF∥AD, ∴四边形ADFE是平行四边形.