高一数学必修1函数及其表示设二次函数f（x)满足f(x+2)=f(2-x),且f(x)=0的两实数根平方和为10,f（x)的图像过点（0,3）,求f(x)的解析式
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 19:54:55
高一数学必修1函数及其表示设二次函数f（x)满足f(x+2)=f(2-x),且f(x)=0的两实数根平方和为10,f（x)的图像过点（0,3）,求f(x)的解析式
高一数学必修1函数及其表示
设二次函数f（x)满足f(x+2)=f(2-x),且f(x)=0的两实数根平方和为10,f（x)的图像过点（0,3）,求f(x)的解析式
高一数学必修1函数及其表示设二次函数f（x)满足f(x+2)=f(2-x),且f(x)=0的两实数根平方和为10,f（x)的图像过点（0,3）,求f(x)的解析式
设二次函数f(x)=ax²+bx+c,(a≠0),
则由f(x)的图象过点（0,3）,
知f(0)=3,即c=3,
∴f(x)=ax²+bx+3；
由f(x)满足f(x+2)=f(2-x)知,
函数图象关于直线x=2对称,即-b/(2a)=2,①
设方程ax²+bx+3=0的两根为s,t,
则s+t= -b/a,st=3/a,
由题意,两根平方和=s²+t²=10,
即(s+t)²-2st=10,
∴(-b/a)²-6/a=10,②
由①②及a≠0,得a=1,b= -4,
∴f(x)的解析式为f(x)=x²-4x+3.
f（x)满足f(x+2)=f(2-x),知道对称轴是2
f(x)=0的两实数根平方和为10 知道（x1+x2)(x1-x2)=10
设f(x)=ax2+bx+c f（x)的图像过点（0,3），则c=3
再把最上边两个代入求出a b
设函数为f(x)=ax^2+bx+c
图像过(0,3),则c=3
f(x+2)=f(2-x)
ax^2+4ax+4a+bx+2b+3=ax^2-4ax+4a+2b-bx+3
4a+b=1①
f(x)=0的两实数根平方和为10
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=(-b/a)^2 - 2*(3/a)=10②
由①②得:a=(7-√43)/6,b=(2√43-11)/3或a=(7+√43)/6,b=(-2√43-11)/3
因为f(x+2)=f(2-x), 所以f(x)关于直线x=2对称 （找对称轴可以联系图像）
所以设该二次函数为f(x)=(x-2)^2+a
又因为图像过点（0,3）
（代入） 所以4+a=3
解得a=-1
所以所求解析式为：f(x)=(x-2)^2-1
注：这道题的两实数根平方和为10 跟 图像过（0，3） 其中一个多余条件 只要其中一个就行...
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因为f(x+2)=f(2-x), 所以f(x)关于直线x=2对称 （找对称轴可以联系图像）
所以设该二次函数为f(x)=(x-2)^2+a
又因为图像过点（0,3）
（代入） 所以4+a=3
解得a=-1
所以所求解析式为：f(x)=(x-2)^2-1
注：这道题的两实数根平方和为10 跟 图像过（0，3） 其中一个多余条件 只要其中一个就行了 ，按理说如果是权威一点的习题肯定不会这样出 这道题应该是个人改编的习题 而考虑不周出现的条件重复
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∵f（x)是二次函数
∴设f（x）=ax²+bx+c
∵f(x+2)=f(2-x)
∴x=2为二次函数f（x)的对称轴
∴-b/（2a）=2 ①
设f（x）的两个实数根为x1、x2，
由韦达定理得x1+x2=-b/a，x1×x2=c/a，
又∵x1²+x2²=10=（x1+x2）²-2x1×x2
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∵f（x)是二次函数
∴设f（x）=ax²+bx+c
∵f(x+2)=f(2-x)
∴x=2为二次函数f（x)的对称轴
∴-b/（2a）=2 ①
设f（x）的两个实数根为x1、x2，
由韦达定理得x1+x2=-b/a，x1×x2=c/a，
又∵x1²+x2²=10=（x1+x2）²-2x1×x2
∴将前面两个式子代入，得到（b/a）²-2（c/a）²=10 ②
∵f（x)的图像过点（0,3）
∴f（0）=3，即c=3 ③
联立①②③式，解方程组得到a=1（a=0不合题意，舍去） b=-4 c=3
∴f（x）=x²-4x+3 即为所求
上面过程如果是考试或是作业的话直接抄上一点问题都没有，至于具体的解释按照每一步自己看应该可以看懂，如果看不懂的话可以随时给我留言。
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