二重积分计算∫∫(x^2-y^2)dxdy D是闭区域0

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/22 12:02:31
二重积分计算∫∫(x^2-y^2)dxdyD是闭区域0二重积分计算∫∫(x^2-y^2)dxdyD是闭区域0二重积分计算∫∫(x^2-y^2)dxdyD是闭区域0使用直角坐标,∫∫(x^2-y^2)d

二重积分计算∫∫(x^2-y^2)dxdy D是闭区域0
二重积分计算∫∫(x^2-y^2)dxdy D是闭区域0

二重积分计算∫∫(x^2-y^2)dxdy D是闭区域0
使用直角坐标,
∫∫(x^2-y^2)dxdy
=∫[0,π]dx∫[0,sinx](x^2-y^2)dy
=∫[0,π](x^2y-1/3y^3)|[0,sinx]dx
=∫[0,π](x^2sinx-1/3(sinx)^3)dx
=∫(x^2sinx-1/3(sinx)^3)dx
=-x^2cosx+2xsinx+2cosx-∫1/3(sinx)^3dx
=-x^2cosx+2xsinx+2cosx-∫1/3(sinx)(1-(cosx)^2)dx
=-x^2cosx+2xsinx+2cosx-∫1/3(sinx)+1/3(sinx)((cosx)^2)dx
=-x^2cosx+2xsinx+2cosx+1/3cosx-1/9(cosx)^3dx
代入积分区间(0,π)
π^2-2-1/3+1/9-2-1/3+1/9
=π^2-40/9