实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a,b,c,d中至少有一个是负数.

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 11:19:06
实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a,b,c,d中至少有一个是负数.实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a,b,c,d中至少有一个是负数.实数

实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a,b,c,d中至少有一个是负数.
实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a,b,c,d中至少有一个是负数.

实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a,b,c,d中至少有一个是负数.
因为a+b=c+d=1,ac+bd>1
所以a=1-b,c=1-d
所以ac+bd=(1-b)(1-d)+bd=-b-d
因为ac+bd>1
所以-b-d>1
所以b小于0或d小于0
同理a小于0或c小于0
所以a,b,c,d中至少有一个是负数.

用反正法:
假设a.b.c.d全为正数,
因为A+B=1,C+D=1,且A.B.C.D均为正数.所以A.B.C.D都小于1
则AC+BD必小于一.与题意不符
所以假设不成立,则原命题成立

设a.b.c.d.四个数都不是负数
即a,b,c,d>=0
由a=1-b>=0所以0=因ac+bd=ac+(1-a)(1-c)=1+2ac-(a+c)
又0=所以ac+bd<=1+2ac-2ac=1这与已知条件矛盾