对于任意xy 有f（x+y）=f（x）f（y）且x>0,f（x）>1,证明f（x）在R上为增函数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 09:09:27
对于任意xy 有f（x+y）=f（x）f（y）且x>0,f（x）>1,证明f（x）在R上为增函数
对于任意xy 有f（x+y）=f（x）f（y）且x>0,f（x）>1,证明f（x）在R上为增函数
对于任意xy 有f（x+y）=f（x）f（y）且x>0,f（x）>1,证明f（x）在R上为增函数
f(0)=[f(0)]^2
∴f(0)*[f(0)-1]=0
解得:f(0)=0或f(0)=1
∵当x＞0时,
f(x)=f(x)*f(0)＞1
∴f(0)≠0
∴
f(0)=1
f(0)=f(x-x)=f(x)*f(-x)=1
∴f(-x)=1/f(x)
∴
对于任意x∈R,有：f(x)＞0
（PS：以上是证明f(x)恒大于0,这样才可以进行比较）
设,a＜b,(a,b∈R)
则：
f(b)=f[a+(b-a)]=f(a)*f(b-a）
∵b-a＞0
∴f(b-a)＞1
∴f(b)/f(a)=f(b-a)＞1
∵f(b)＞0,f(a)＞0
∴f(b)＞f(a)
∴f(x)在R上为增函数
哪里还有疑问,再补充吧……
对于任意的一个比y大的数 可以写成x+y x>0
由题可得 对于任意y 我们都可以取一个数x 使x+y>0 所以f（x+y）>1
则 f（y）>0
则f（x+y）=f（x）f（y）>f（y）所以f（x）在R上为增函数
x=n/2>0
y=n/2
f(n/2+n/2)=f(n)=f(n)^2
对任意k>0,有n+k>n
f(n+k)=f(n)f(k)=f(n)^2f(k)
因f(k)>1
所以：
f(n)^2f(k)>f(n)^2
即：
f(n+k)>f(n)
即：
f（x）在R上为增函数
y>x ,f（y）-f(x)=f（x+y-x）-f（x）=f（x）f（y-x）-f(x)
=f(x){f(y-x)-1}>0