已知二次函数f(x)满足条件:f(-1)=0,对一切x属于R有:x≤f(x)≤(1+x²)/2恒成立,则f(x)的最小值为多少上面是题目,书上解析过程中有一个地方看不懂,从x≤ax²+bx+c≤(1+x²)/2知1≤a+b+c≤1我想知
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 04:11:21
已知二次函数f(x)满足条件:f(-1)=0,对一切x属于R有:x≤f(x)≤(1+x²)/2恒成立,则f(x)的最小值为多少上面是题目,书上解析过程中有一个地方看不懂,从x≤ax²+bx+c≤(1+x²)/2知1≤a+b+c≤1我想知
已知二次函数f(x)满足条件:f(-1)=0,对一切x属于R有:x≤f(x)≤(1+x²)/2恒成立,则f(x)的最小值为多少
上面是题目,书上解析过程中有一个地方看不懂,从x≤ax²+bx+c≤(1+x²)/2知1≤a+b+c≤1
我想知道这一步是怎么化简的,麻烦写详细些,本人资质愚钝,谢谢了.
已知二次函数f(x)满足条件:f(-1)=0,对一切x属于R有:x≤f(x)≤(1+x²)/2恒成立,则f(x)的最小值为多少上面是题目,书上解析过程中有一个地方看不懂,从x≤ax²+bx+c≤(1+x²)/2知1≤a+b+c≤1我想知
对于x≤f(x)≤(1+x²)/2,令x=1得到1≤f(1)≤1
所以f(1)=1,所以a+b+c=1
下面回答你的问题：
x≤f(x)≤(1＋x²)/2,则以x=1代入,得：1≤f(1)≤1,则：
f(1)=a＋b＋c=1
f(－1)=a－b＋c=0
由这两个,解得：
b=1/2,a＋c=1/2
则：f(x)=ax²＋(1/2)x＋c
又：x≤f(x)对一切实数恒成立,即：
f(x)－x≥0
ax²－(1/2)x＋c≥0对一切实数恒成立,得：a>0且△=(1/2)²－4ac≤0
a>0且ac≥1/16
因为a=(1/2)－c,则：c[(1/2)－c]≥1/16 ====>>> [c－(1/4)]²≤0,得：c=1/4
从而,a=1/4,则：
f(x)=(1/4)x²＋(1/2)x＋(1/4),即：
f(x)=(1/4)(x＋1)²
所以,f(x)的最小值是f(-1)=0.
这里当左边=右边时，中间量只能取等号
x=（1+x²）/2得x=1
于是x=1时，左边=1，中间=a+b+c，右边=1【一旦弄懂了这些，解题步骤上就省略了】
很简单，因为y=x和y=(1+x²)/2有交点（1,1），根据题目中的不等式，y=ax²+bx+c一定经过（1,1），带入得a+b+c=1，谢谢！