证明根号2,5和7是无理数 具体点
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 15:20:46
证明根号2,5和7是无理数 具体点
证明根号2,5和7是无理数 具体点
证明根号2,5和7是无理数 具体点
1：证明根号2是无理数：
证明：若根号2是有理数,则设它等于m/n（m、n为不为零的整数,m、n互质）
（m/n）^2=根号2 ^2 =2
则 m^2/n^2=2
m^2=2*n^2
所以 m^2是偶数,设m=2k（k是整数）
所以 m^2=4k^2=2n^2
n^2=2k^2
所以 n是偶数
因为 m、n互质
所以 矛盾
所以 根号2不是有理数,它是无理数
2：用反证法证明√5是无理数.
设√5不是无理数而是有理数,
则设√5=p/q(p,q是正整数,且互为质数,即最大公约数是1)
两边平方,5=p^2/q^2,p^2=5q^2(*)
p^2含有因数5,设p=5m
代入(*),25m^2=5q^2,q^2=5m^2
q^2含有因数5,即q有因数5
这样p,q有公因数5,
这与假设p,q最大公约数为1矛盾,
√5=p/q(p,q是正整数,且互为质数,即最大公约数是1)不成立,
√5不是有理数而是无理数.
3：同理
例子：证明根号2是无理数：
证明：若根号2是有理数，则设它等于m/n（m、n为不为零的整数，m、n互质）
所以 （m/n）^2=根号2 ^2 =2
所以 m^2/n^2=2
所以 m^2=2*n^2
所以 m^2是偶数，设m=2k（k是整数）
所以 m^2=4k^2=2n^2
所以 n^2=2k^2
所以 n是偶数 <...
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例子：证明根号2是无理数：
证明：若根号2是有理数，则设它等于m/n（m、n为不为零的整数，m、n互质）
所以 （m/n）^2=根号2 ^2 =2
所以 m^2/n^2=2
所以 m^2=2*n^2
所以 m^2是偶数，设m=2k（k是整数）
所以 m^2=4k^2=2n^2
所以 n^2=2k^2
所以 n是偶数
因为 m、n互质
所以 矛盾
所以 根号2不是有理数，它是无理数
收起
已知：sqrt(3) 是实数
求证：sqrt(3) 是无理数
证明：通过假设、反证来说明我架设的结论是错误的。
设k是最小的整数，则k>0；
我们假定sqrt(3) 后面是一个有理数；
所以，k*sqrt(3) 也是一个有理数。（“*”表示“乘”）
设m=k*sqrt(3) -k；
所以，m也是一个有理数。
而且 m*...
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已知：sqrt(3) 是实数
求证：sqrt(3) 是无理数
证明：通过假设、反证来说明我架设的结论是错误的。
设k是最小的整数，则k>0；
我们假定sqrt(3) 后面是一个有理数；
所以，k*sqrt(3) 也是一个有理数。（“*”表示“乘”）
设m=k*sqrt(3) -k；
所以，m也是一个有理数。
而且 m*sqrt(3)=(k*sqrt(3)-k)*sqrt(3)=3k-sqrt(3) k 也是一个整数。
然而,m=k* sqrt(3)-k 比 k 小；
而且我们假设k 是最小整数，且k*sqrt(3) 一个整数。
这是前后矛盾的。
我们得出结论说明我们的假设是假的，而且 sqrt(3) 是无理数。
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