用空间向量法证明：空间四边形对角线垂直的充要条件是两组对边的平方和相等

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/06 07:30:20

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用空间向量法证明：空间四边形对角线垂直的充要条件是两组对边的平方和相等
设四顶点对应向量a,b,c,d.
对角线垂直
<=> (a-c) * (b-d)=0 (*表示点积）
<=> a*b+c*d=b*c+d*a
<=> (a-b)*(a-b)+(c-d)*(c-d)=(b-c)*(b-c)+(d-a)*(d-a)
<=> 两组对边的平方和相等

空间四边形OABC,(AB_指向量AB.)
则设OA_= a,OB_=c,OC_=b,则CA_=a-c,BA_=a-b,CB_=b-c,
则AC垂直于OB <==> AC_*OB_=0 <==>(c-a)*(b)=0
<==>ab=bc <==>a^2+(b-c)^2=c^2+(a-b)^2
<==>OA^2+BC^2=OC^2+AB^2得证

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