求过程纤细
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 09:12:15
求过程纤细
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11.已知sinα+sinβ=1/4；cosα+cosβ=1/3；求tan(α+β)和sin(α+β)的值
将sinα+sinβ=1/4两边平方,得sin²α+2sinαsinβ+sin²β=1/16.(1)
将cosα+cosβ=1/3两边平方,得cos²α+2cosαcosβ+cos²β=1/9.(2)
(1)+(2)得2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=25/144,故cos(α-β)=-263/288.(3)
(2)-(1)得cos2α+cos2β+2cos(α+β)=7/144
即有2cos(α+β)cos(α-β)+2cos(α+β)=7/144.(4)
将(3)代入(4)得cos(α+β)=7/25.(5)
(sinα+sinβ)(cosα+cosβ)=sinαcosα+sinαcosβ+cosαsinβ+sinβcosβ
=(1/2)(sin2α+sin2β)+sin(α+β)=sin(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)=1/12.(6)
将(3)代入(6)得sin(α+β)=24/25；
故tan(α+β)=sin(α+β)/cos(α+β)=(24/25)(25/7)=24/7.
此题利用和差化积公式，2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]=1/4 (1) 2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]=1/3 (2)
(1)÷(2)得：tan[(α+β)/2]=3/4,代入正切的2倍角公式得：tan(α+β)=2tan[(α+β)/2]/(1-tan^2[(α+β)/2]=24/7,
得： sin(α+β)=2sin[...
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此题利用和差化积公式，2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]=1/4 (1) 2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]=1/3 (2)
(1)÷(2)得：tan[(α+β)/2]=3/4,代入正切的2倍角公式得：tan(α+β)=2tan[(α+β)/2]/(1-tan^2[(α+β)/2]=24/7,
得： sin(α+β)=2sin[(α+β)/2]cos[(α+β)/2]=2sin[(α+β)/2]cos[(α+β)/2]/(sin^2[(α+β)/2]+cos^2[(α+β)/2]
=2tan[(α+β)/2)/{1+tan^2[(α+β)/2]}=24/25. 后面又用正弦的2倍角公式
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(sina+sinb)(cosa+cosb)=1/12，sinacosa+sinbcosb+sin(a+b)=1/12，sin(a+b)cos(a-b)+sin(a+b)=1/12；(sina+sinb)²+(cosa+cosb)²=1/16+1/9，2cos(a-b)+2=25/16*9，cos(a-b)=-263/288，代入sin(a+b)cos(a-b)+sin(a+b...
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(sina+sinb)(cosa+cosb)=1/12，sinacosa+sinbcosb+sin(a+b)=1/12，sin(a+b)cos(a-b)+sin(a+b)=1/12；(sina+sinb)²+(cosa+cosb)²=1/16+1/9，2cos(a-b)+2=25/16*9，cos(a-b)=-263/288，代入sin(a+b)cos(a-b)+sin(a+b)=1/12，得：sin(a+b)=24/25；
(cosa+cosb)²-(sina+sinb)²=1/9-1/16，2cos(a+b)+2cos(a+b)cos(a-b)=7/16*9，得：cos(a+b)=7/25，则tan(a+b)=24/7
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