计算广义定积分 ∫ （+无穷,1）arctanx/(x^2) dx
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/07 21:10:43
计算广义定积分 ∫ （+无穷,1）arctanx/(x^2) dx
计算广义定积分 ∫ （+无穷,1）arctanx/(x^2) dx
计算广义定积分 ∫ （+无穷,1）arctanx/(x^2) dx
凑微+分部积分+变量替换
记I=∫ (1~+∞)arctanx/(x^2) dx
=-∫ (1~+∞)arctanxd(1/x )
=-(1/x)arctanx|(1,+∞)+∫ (1~+∞)1/[x(1+x^2)]dx
=π/4+∫ (1~+∞)1/[x(1+x^2)]dx
令1/x=t.则∫ (1,+∞)1/[x(1+x^2)]dx=∫(0~1)t/(1+t^2)dt=(1/2)ln(1+t^2)|(0,1)=(1/2)ln2
所以I=π/4+(1/2)ln2
∫ （+无穷，1）arctanx/(x^2) dx= - ∫（+无穷，1）arctanx d x^(-1)
= - {[arctanx x^(-1) ](+无穷，1) - ∫（+无穷，1）x^(-1) d arctanx }
...
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∫ （+无穷，1）arctanx/(x^2) dx= - ∫（+无穷，1）arctanx d x^(-1)
= - {[arctanx x^(-1) ](+无穷，1) - ∫（+无穷，1）x^(-1) d arctanx }
= -[0-π/4- ∫（+无穷，1）(1/(x+x^3)) dx]
= -[-π/4 -( ∫(+无穷，1) (1/(x+x^3)) dx)]
= -[-π/4 -( ∫(+无穷，1) (1/x-x/(1+x^2))) dx)]
=π/4+(ln2)/2
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