判断函数f(x)=log2 (x+1)/(x-1)在(负无穷,-1)单调性,并用定义加以证明
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 16:51:19
判断函数f(x)=log2 (x+1)/(x-1)在(负无穷,-1)单调性,并用定义加以证明
判断函数f(x)=log2 (x+1)/(x-1)在(负无穷,-1)单调性,并用定义加以证明
判断函数f(x)=log2 (x+1)/(x-1)在(负无穷,-1)单调性,并用定义加以证明
f(x)=log₂(x+1)/(x-1)=log₂[1+ 2/(x-1)],
设 x1
s
f(x)=log₂(x+1)/(x-1)=log₂[1+ 2/(x-1)]，
设 x1
所以 log₂[1+ 2/(x-1)]>log₂[1+ 2/(x-1)]，
即 f(x1)>f(x2)
从而 f(x)在（-∞,-1）上是减函数。
由于这是一个复合函数
设g(x)=(x+1)/(x-1)=X^2-1
很明显函数f(x)在 (负无穷,0]是单调递减的
但是对数函数的"真数"是恒大于0的.
所以X的单调递减区间只能取(负无穷,-1)
又∵f(x)=log2f(x)是单调递增的
两个函数复合起来,函数f(x)=log2 A的单调递减区间正好是函数A的单调递减区间
即原...
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由于这是一个复合函数
设g(x)=(x+1)/(x-1)=X^2-1
很明显函数f(x)在 (负无穷,0]是单调递减的
但是对数函数的"真数"是恒大于0的.
所以X的单调递减区间只能取(负无穷,-1)
又∵f(x)=log2f(x)是单调递增的
两个函数复合起来,函数f(x)=log2 A的单调递减区间正好是函数A的单调递减区间
即原函数的单调递减区间为(负无穷,-1)
(复合函数的单调区间规律是这样的：“增增得增，增减得减，减增得减，减减得增”)
证：取x1
f(x2)=log2(x2^2-1)
f(x1)-f(x2）=log2{(x1^2-1)/(x2^2-1)} ..............2
因为x1
所以(x1^2-1)/(x2^2-1)>1
所以log2{(x1^2-1)/(x2^2-1)}>0
即f(x1)>f(x2) ............3
得证
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