在三角形ABC中,若角A+角B=120度,求证:a/(b+c)+b/(a+c)=1

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/28 19:18:37
在三角形ABC中,若角A+角B=120度,求证:a/(b+c)+b/(a+c)=1在三角形ABC中,若角A+角B=120度,求证:a/(b+c)+b/(a+c)=1在三角形ABC中,若角A+角B=12

在三角形ABC中,若角A+角B=120度,求证:a/(b+c)+b/(a+c)=1
在三角形ABC中,若角A+角B=120度,求证:a/(b+c)+b/(a+c)=1

在三角形ABC中,若角A+角B=120度,求证:a/(b+c)+b/(a+c)=1
证明:
由于:A+B=120°
则:C=60°
又由余弦定理可得:
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
则:
ab=a^2+b^2-c^2
a^2+b^2=c^2+ab
则:
a/(b+c)+b/(a+c)
=[a(a+c)+b(b+c)]/[(b+c)(a+c)]
=(a^2+b^2+ac+bc)/(ab+bc+ac+c^2)
=(c^2+ab+ac+bc)/(ab+bc+ac+c^2)
=1

通分 (a^2+b^2+ac+bc)/(ab+bc+ac+c^2)
(a^2+b^2+ac+bc)-(ab+bc+ac+c^2)
=a^2+b^2-c^2-ab=0
因为角c=60度,余弦定理可得结果

证明:
要证a/(b+c)+b/(a+c)=1
即证 a(a+c)+b(b+c)=(a+c)(b+c)
即证a^2+ac+b^2+bc=ab+ac+bc+c^2
整理a^2+b^2-c^2=ab
(a^2+b^2-c^2)/2ab=1/2=cosC
所以角C=60`
又角A+角B=120`,所以角C=60`成立
所以a/(b+c)+b/(a+c)=1