一个锐角三角形,角ABC是45度,D是BC是一点,BD等于DC的一半,ADC角是60度,求角C
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 04:19:52
一个锐角三角形,角ABC是45度,D是BC是一点,BD等于DC的一半,ADC角是60度,求角C
一个锐角三角形,角ABC是45度,D是BC是一点,BD等于DC的一半,ADC角是60度,求角C
一个锐角三角形,角ABC是45度,D是BC是一点,BD等于DC的一半,ADC角是60度,求角C
做AD⊥BC于E
DE=AE/tanADC=AE/tan60°=√3/3 AE
BE=AE/tanB=AE/tan45°= AE
BD=BE-DE=(3-√3)/3 AE
又：BD=1/2DC
∴DC=2BD=(6-2√3)/3 AE
∴EC=DC-DE==(6-2√3)/3 AE-√3/3 AE =(6-3√3)/3 AE = (2-√3)AE
tanC = AE/EC = 1/(2-√3) = 2+√3
C = arc tan(2+√3) = 75°
令BC上的高为AE，
则BE＝AE,DE＝√3AE╱3
所以CE＝CD-DE＝2BD-DE
＝2(BE-DE)-DE
＝2BE-3DE
＝2AE－√3AE
cot C＝2-√3
C＝arccos(2-√3)
是楼上的思路，但是是75度
作AE垂直BC于E，设BE=1，则AD=2，AE=根号3
BD=根号3-1，CD=2(根号3-1)，CE=2根号3-3
勾股定理得AC=3根号2-根号6，
sinC=AE/AC=(根号6+根号2)/4，这是75度的sin值，平时大家用不到，所以反应不过来
应该是60度，具体的证明还没想出，提供个思路从A向BC做条垂线
如图所示：AE为BC边上的高， 则有BE＝AE，DE＝√3AE/3，则有CE＝CD-DE＝2BD-DE＝2(BE-DE)-DE＝2BE-3DE ＝2AE－√3AE，所以cot C＝CE/AE=(2-√3)，所以C＝arccot(2-√3) ，希望对你有帮助，谢谢！
75°
作CE垂直AD，设CD为单位2，则BD=1，因为∠ADC=60°，所以DE=1，CE=√3，∠ECD=30°,所以△BDE为等腰三角形，可推出∠EBD=∠BED=30°=∠ECD，所以BE=CE=√3，所以∠ABE=45-30=15°＝∠BAE，所以AE=BE=CE，∠EAC=∠ECA=90/2=45°
所以∠C=∠ECA+∠ECD=45°+30°＝75°
设BD=1，则DC=2，过A作AE垂直BC，E为垂足，因为角ABC=45度，所以AE=BE， 因为角ADC=60度，所以AE=根号3DE=1+DE，因此DE=（根号3+1）/2 EC=2-DE AC^2=AE^2+EC^2=(根号3DE）^2+(2-DE)^2=4DE^2-4DE+4=(2DE-1)^2+3=6 BC*CD=6 所以AC^2=BC*CD,即BC/AC=AC/CD， 又因为角C是三角形ABC和三角形DAC的公共角，所以三角形ABC与三角形DAC相似， 所以角BAC=角ADC=60度，因此角C=180度-角BAC-角ABC=75度。
记BD=1,则DC=2，过A作AH⊥BC，垂足为H，设HC=x，那么DH=2-x，BH=AH=3-x，
∵∠ADC=60°，∴3-x=√3*(2-x)，解得x=(2√3-3)/(√3-1)=(3-√3)/2，则AH=3-x=(3+√3)/2
tanC=AH/HC=(3-x)/x=(3+√3)/(3-√3)=2+√3，
这样的正切值对应的角度C=75°，可由下述作法验证。
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记BD=1,则DC=2，过A作AH⊥BC，垂足为H，设HC=x，那么DH=2-x，BH=AH=3-x，
∵∠ADC=60°，∴3-x=√3*(2-x)，解得x=(2√3-3)/(√3-1)=(3-√3)/2，则AH=3-x=(3+√3)/2
tanC=AH/HC=(3-x)/x=(3+√3)/(3-√3)=2+√3，
这样的正切值对应的角度C=75°，可由下述作法验证。
∵AH=(2+√3)HC=(2+√3)x，在AH上取一点E，使AE=2x，那么EH=(√3)x，∴EH/HC=√3，
连接EC，可知在rt△EHC中∠ECH=60°，∠HEC=30°且EC=2HC=2X=AE，
在等腰三角形AEC中∠ACE=∠HEC/2=15°，∴∠ACB=60°+15°=75°。
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