一个锐角三角形,角ABC是45度,D是BC是一点,BD等于DC的一半,ADC角是60度,求角C
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/09/03 01:06:58
一个锐角三角形,角ABC是45度,D是BC是一点,BD等于DC的一半,ADC角是60度,求角C
一个锐角三角形,角ABC是45度,D是BC是一点,BD等于DC的一半,ADC角是60度,求角C
一个锐角三角形,角ABC是45度,D是BC是一点,BD等于DC的一半,ADC角是60度,求角C
做AD⊥BC于E
DE=AE/tanADC=AE/tan60°=√3/3 AE
BE=AE/tanB=AE/tan45°= AE
BD=BE-DE=(3-√3)/3 AE
又:BD=1/2DC
∴DC=2BD=(6-2√3)/3 AE
∴EC=DC-DE==(6-2√3)/3 AE-√3/3 AE =(6-3√3)/3 AE = (2-√3)AE
tanC = AE/EC = 1/(2-√3) = 2+√3
C = arc tan(2+√3) = 75°
令BC上的高为AE,
则BE=AE,DE=√3AE╱3
所以CE=CD-DE=2BD-DE
=2(BE-DE)-DE
=2BE-3DE
=2AE-√3AE
cot C=2-√3
C=arccos(2-√3)
是楼上的思路,但是是75度
作AE垂直BC于E,设BE=1,则AD=2,AE=根号3
BD=根号3-1,CD=2(根号3-1),CE=2根号3-3
勾股定理得AC=3根号2-根号6,
sinC=AE/AC=(根号6+根号2)/4,这是75度的sin值,平时大家用不到,所以反应不过来
应该是60度,具体的证明还没想出,提供个思路从A向BC做条垂线
如图所示:AE为BC边上的高, 则有BE=AE,DE=√3AE/3,则有CE=CD-DE=2BD-DE=2(BE-DE)-DE=2BE-3DE =2AE-√3AE,所以cot C=CE/AE=(2-√3),所以C=arccot(2-√3) ,希望对你有帮助,谢谢!
75°
作CE垂直AD,设CD为单位2,则BD=1,因为∠ADC=60°,所以DE=1,CE=√3,∠ECD=30°,所以△BDE为等腰三角形,可推出∠EBD=∠BED=30°=∠ECD,所以BE=CE=√3,所以∠ABE=45-30=15°=∠BAE,所以AE=BE=CE,∠EAC=∠ECA=90/2=45°
所以∠C=∠ECA+∠ECD=45°+30°=75°
设BD=1,则DC=2,过A作AE垂直BC,E为垂足,因为角ABC=45度,所以AE=BE, 因为角ADC=60度,所以AE=根号3DE=1+DE,因此DE=(根号3+1)/2 EC=2-DE AC^2=AE^2+EC^2=(根号3DE)^2+(2-DE)^2=4DE^2-4DE+4=(2DE-1)^2+3=6 BC*CD=6 所以AC^2=BC*CD,即BC/AC=AC/CD, 又因为角C是三角形ABC和三角形DAC的公共角,所以三角形ABC与三角形DAC相似, 所以角BAC=角ADC=60度,因此角C=180度-角BAC-角ABC=75度。
记BD=1,则DC=2,过A作AH⊥BC,垂足为H,设HC=x,那么DH=2-x,BH=AH=3-x,
∵∠ADC=60°,∴3-x=√3*(2-x),解得x=(2√3-3)/(√3-1)=(3-√3)/2,则AH=3-x=(3+√3)/2
tanC=AH/HC=(3-x)/x=(3+√3)/(3-√3)=2+√3,
这样的正切值对应的角度C=75°,可由下述作法验证。
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记BD=1,则DC=2,过A作AH⊥BC,垂足为H,设HC=x,那么DH=2-x,BH=AH=3-x,
∵∠ADC=60°,∴3-x=√3*(2-x),解得x=(2√3-3)/(√3-1)=(3-√3)/2,则AH=3-x=(3+√3)/2
tanC=AH/HC=(3-x)/x=(3+√3)/(3-√3)=2+√3,
这样的正切值对应的角度C=75°,可由下述作法验证。
∵AH=(2+√3)HC=(2+√3)x,在AH上取一点E,使AE=2x,那么EH=(√3)x,∴EH/HC=√3,
连接EC,可知在rt△EHC中∠ECH=60°,∠HEC=30°且EC=2HC=2X=AE,
在等腰三角形AEC中∠ACE=∠HEC/2=15°,∴∠ACB=60°+15°=75°。
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