如图,已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直,垂足为点E．⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F,且AD=3,cos∠BCD=¾．（1）求证：CD∥BF；（2）求⊙O的半径；（3）求弦CD的长．

如图,已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直,垂足为点E．⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F,且AD=3,cos∠BCD=¾．（1）求证：CD∥BF；（2）求⊙O的半径；（3）求弦CD的长．
如图,已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直,垂足为点E．⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F,且AD=3,
cos∠BCD=¾．（1）求证：CD∥BF；（2）求⊙O的半径；（3）求弦CD的长．

如图,已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直,垂足为点E．⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F,且AD=3,cos∠BCD=¾．（1）求证：CD∥BF；（2）求⊙O的半径；（3）求弦CD的长．
（1）证明：因为 圆O的直径是AB,且BF是圆O的切线,
所以 BF垂直于AB,
因为 CD垂直于AB,
所以 CD//BF.
因为 cosBCD=3/4,又 角A=角BCD,
所以 cosA=3/4,
因为 AB与CD互相垂直,
所以 角AEB是直角,
所以 cosA=AE/AD,
所以 3/4=AE/3,AE=9/4,
连结BD,
因为 AB是圆O的直径,
所以 角ADB是直角,
又因为 CD垂直于AB,
所以 AD平方=AE乘AB,
9=9AB/4,
AB=4,
所以 圆O的半径为2.
因为 圆O的直径AB与弦CD互相垂直,垂足为点E,
所以 CD=2DE,DE平方=AE乘BE,
因为 AB=4,AE=9/4,
所以 BE=4--9/4=7/4,
所以 DE平方=9/4乘7/4=63/16,
所以 DE=（3根号7）/4,
所以 CD=2DE
=（3根号7）/2.

（1）证明：∵BF是⊙O的切线，
∴AB⊥BF，（1分）
∵AB⊥CD，
∴CD∥BF；（2分）
（2）连接BD，∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，（3分）
∵∠BCD=∠BAD，cos∠BCD=34，（4分）
∴cos∠BAD=ADAB=
34，
又∵AD=3，
∴AB=4，
∴⊙O的半径为2；（5分）

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（1）证明：∵BF是⊙O的切线，
∴AB⊥BF，（1分）
∵AB⊥CD，
∴CD∥BF；（2分）
（2）连接BD，∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，（3分）
∵∠BCD=∠BAD，cos∠BCD=34，（4分）
∴cos∠BAD=ADAB=
34，
又∵AD=3，
∴AB=4，
∴⊙O的半径为2；（5分）
（3）∵cos∠DAE=AEAD=
34，AD=3，
∴AE=ADcos∠DAE=3×34=94，（6分）
∴ED=32-(
94)2=
3
74，（7分）
∴CD=2ED=3
72．（8分）

收起

（1）证明：连接OC．
∵CE⊥AB，CF⊥AF，CE=CF，
∴AC平分∠BAF，即∠BAF=2∠BAC．
∵∠BOC=2∠BAC，
∴∠BOC=∠BAF．
∴OC∥AF．
∴CF⊥OC．
∴CF是⊙O的切线．
（2）∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=ED，∠ACB=∠BEC=90°．
∴S△CBD=2S△C...

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（1）证明：连接OC．
∵CE⊥AB，CF⊥AF，CE=CF，
∴AC平分∠BAF，即∠BAF=2∠BAC．
∵∠BOC=2∠BAC，
∴∠BOC=∠BAF．
∴OC∥AF．
∴CF⊥OC．
∴CF是⊙O的切线．
（2）∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=ED，∠ACB=∠BEC=90°．
∴S△CBD=2S△CEB，∠BAC=∠BCE，
∴△ABC∽△CBE．
∴S△CBES△ABC=(
BCAB)2=（sin∠BAC）2=(
25)2=425．
∴S△CBDS△ABC=825．

收起

（1）∵BF是⊙O的切线 ∴AB⊥BF
∵AB⊥CD
∴CD∥BF
（2）连结BD
∵AB是直径 ∴∠ADB=90°
∵∠BCD=∠BAD cos∠BCD=
∴cos∠BAD=

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（1）∵BF是⊙O的切线 ∴AB⊥BF
∵AB⊥CD
∴CD∥BF
（2）连结BD
∵AB是直径 ∴∠ADB=90°
∵∠BCD=∠BAD cos∠BCD=
∴cos∠BAD=
又∵AD=3 ∴AB=4
∴⊙O的半径为2
（3）∵cos∠DAE= AD=3∴AE=
∴ED=
∴CD=2ED=

收起

见图。

http://czsx.cooco.net.cn/testdetail/43164/