已知函数f(x)满足f（logaX)=a/a^2-1(X-X^-1),其中a>0,且a不等于1,当且仅当x属于(-无穷大,2),f(x)-4的值为负数,求a的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/13 22:27:43
已知函数f(x)满足f（logaX)=a/a^2-1(X-X^-1),其中a>0,且a不等于1,当且仅当x属于(-无穷大,2),f(x)-4的值为负数,求a的取值范围
已知函数f(x)满足f（logaX)=a/a^2-1(X-X^-1),其中a>0,且a不等于1,
当且仅当x属于(-无穷大,2),f(x)-4的值为负数,求a的取值范围
已知函数f(x)满足f（logaX)=a/a^2-1(X-X^-1),其中a>0,且a不等于1,当且仅当x属于(-无穷大,2),f(x)-4的值为负数,求a的取值范围
（1）设u=log_a (x),则x=a^u,于是
f(u)=a*(a^u-a^(-u))/(a^2-1)=(a^u-1/a^u)/(a-1/a),
所以f(x)=(a^x-1/a^x)/(a-1/a),
易知,f(x)为奇函数.
f'(x)= ln(a)*(a^x+a^(-x))*a/(a^2-1)；
①、 当00.
故f(x)为增函数,
f(1-M)+f(1-M^2)＜0 => f(1-M)＜-f(1-M^2)
=> f(1-M)＜f(M^2-1),
所以,1-M＜M^2-1,M^2+M-2>0,(M+2)(M-1)>0,
M>1或M
满意回答中第一问有误，正确解法如下：
令log_a(x)=t，则x=a^t，
所以 f(t)=[a/(a^2-1)]·[a^t-a^(-t)]
所以 f(x)=[a/(a^2-1)]·[a^x-a^(-x)]
因为f(-x)=-f(x),故f(x)是R上的奇函数
当a＞1时，f(x)是R上的增函数，0＜a＜1时，f(x)是R上的增函数。
即a＞0...
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满意回答中第一问有误，正确解法如下：
令log_a(x)=t，则x=a^t，
所以 f(t)=[a/(a^2-1)]·[a^t-a^(-t)]
所以 f(x)=[a/(a^2-1)]·[a^x-a^(-x)]
因为f(-x)=-f(x),故f(x)是R上的奇函数
当a＞1时，f(x)是R上的增函数，0＜a＜1时，f(x)是R上的增函数。
即a＞0且a≠1时， f(x)是R上的增函数。
由f(1-m)+f(1-m^2)＜0，有f(1-m)=f(m^2-1),
所以，1-m＜m^2-1①
-1＜1-m＜1②
-1＜m^2-1＜1③
联立①②③得，m∈(1,√2)
另外，第（2）问中左右取闭区间，即a∈[2-√3, 1)∪(1, 2+√3]。
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