7.x 、y 、z 为正数,且xyz ( x + y + z ) = 1.则( x + y) ( y + z) 的最小值是.

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 00:11:24
7.x、y、z为正数,且xyz(x+y+z)=1.则(x+y)(y+z)的最小值是.7.x、y、z为正数,且xyz(x+y+z)=1.则(x+y)(y+z)的最小值是.7.x、y、z为正数,且xyz(

7.x 、y 、z 为正数,且xyz ( x + y + z ) = 1.则( x + y) ( y + z) 的最小值是.
7.x 、y 、z 为正数,且xyz ( x + y + z ) = 1.则( x + y) ( y + z) 的最小值是.

7.x 、y 、z 为正数,且xyz ( x + y + z ) = 1.则( x + y) ( y + z) 的最小值是.
因为x ,y ,z都是正数,所以(x+y)+(y+z)>(x+z),(y+z)+(z+x)>(x+y),(z+x)+(x+y)>(y+z),
于是可以构造以x+y,y+z,z+x为边长的三角形ABC(其中假设AB=z+x,BC=x+y,AC=y+z)
由海伦公式得根号下【xyz(x+y+z)】=1
所以三角形面积S=1/2AC*BCsinC=1/2(x+y)*(y+z)sinC=2S=2

(x+y)(y+z)=xy+xz+yz+y^2
xyz(x+y+z)=1, 得xz(xy+yz+y^2)=1
所以:(x+y)(y+z)=xy+xz+yz+y^2>= 2 根号【xz(xy+yz+y^2)】=2
即最小值是:2

由于
xyz ( x + y + z ) = 1
可以得到
xz(xy + y^2 + yz) = 1
所以
xy + y^2 + yz = 1/(xz)
( x + y) ( y + z)
= xy + xz + y^2 + yz
= xz + 1/(xz)
>= 2 (依据基本不等式)
当 xz = 1/(xz)时取最小值