P为三角形ABC所在平面外一点,PA⊥ PB,PB ⊥PC,PC ⊥PA,PH ⊥平面ABC于H.求证：1 H是三角形ABC的垂心 2 三角形ABC为锐角三角形

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2025/01/01 06:19:48

P为三角形ABC所在平面外一点,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH⊥平面ABC于H.求证：1H是三角形ABC的垂心2三角形ABC为锐角三角形P为三角形ABC所在平面外一点,PA⊥PB,PB⊥PC

P为三角形ABC所在平面外一点,PA⊥ PB,PB ⊥PC,PC ⊥PA,PH ⊥平面ABC于H.求证：1 H是三角形ABC的垂心 2 三角形ABC为锐角三角形
P为三角形ABC所在平面外一点,PA⊥ PB,PB ⊥PC,PC ⊥PA,PH ⊥平面ABC于H.
求证：1 H是三角形ABC的垂心
2 三角形ABC为锐角三角形

P为三角形ABC所在平面外一点,PA⊥ PB,PB ⊥PC,PC ⊥PA,PH ⊥平面ABC于H.求证：1 H是三角形ABC的垂心 2 三角形ABC为锐角三角形
PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA
所以PA⊥面BPC进一步推出PA⊥BC
因为AH为PA在三角形上的射影,根据射影定理得AH⊥BC
同理可得BH⊥AC,CH⊥AB
得证H为△ABC的垂心
设PA=a,PB=b,PC=c
AB^2=a^2+b^2,BC^2=b^2+c^2,CA^2=c^2+a^2
AB^2+BC^2-CA^2=2b^2>0
同理可以看出三角形ABC任意两边的平方和是大于第三边的平方的,显然这是锐角三角形才具有的特征

1. PA⊥ PB,PC ⊥PA，PB⊥PC
所以PA⊥面BPC进一步推出PA⊥BC
因为AH为PA在三角形上的射影,根据射影定理得AH⊥BC ，同理可得BH⊥AC,CH⊥AB
得证H为△ABC的垂心
2.
不会！