已知a+b+c=2 a2+b2+c2=3 a3+b3+c3=4求a4+b4+c4=?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 20:27:44
已知a+b+c=2 a2+b2+c2=3 a3+b3+c3=4求a4+b4+c4=?
已知a+b+c=2 a2+b2+c2=3 a3+b3+c3=4求a4+b4+c4=?
已知a+b+c=2 a2+b2+c2=3 a3+b3+c3=4求a4+b4+c4=?
∵∴
∵a+b+c=2
∴4=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=3+2(ab+bc+ac)
∴ab+bc+ac=1/2 (1)
∵a+b+c=2
∴8=(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3a^2 b+3ab^2+3a^2 c+3ac^2+3b^2 c+3bc^2+6abc
=4+3a^2 b+3ab^2+3a^2 c+3ac^2+3b^2 c+3bc^2+6abc
∵3a^2 b+3ab^2=3ab(a+b)=3ab(2-c)=6ab-3abc
同理3a^2 c+3ac^2=6ac-3abc,3b^2 c+3bc^2=6bc-3abc
∴8=(a+b+c)^3=4+6(ab+ac+bc)-3abc=4+6/2-3abc
∴abc=-1/3 (2)
∵16=(a+b+c)^4=[a^4+b^4+c^4]+[4a^3 b+4ab^3+4a^3 c+4ac^3+4b^3 c+4bc^3]+[6a^2 b^2
+6a^2 c^2+6b^2 c^2]+[12a^2 bc+12ab^2 c+12abc^2]
∵4a^3 b+4ab^3=4ab(a^2+b^2)=4ab(3-c^2)=12ab-4abc^2
同理4b^3 c+4bc^3=12bc-4a^2 bc,4a^3 c+4ac^3=12ac-4ab^2 c
∴16=(a+b+c)^4=[a^4+b^4+c^4]+12(ab+bc+ac)+[6a^2 b^2
+6a^2 c^2+6b^2 c^2]+[8a^2 bc+8ab^2 c+8abc^2]
=[a^4+b^4+c^4]+6+[6a^2 b^2+6a^2 c^2+6b^2 c^2]+[8a^2 bc+8ab^2 c+8abc^2]
∴10=[a^4+b^4+c^4]+[6a^2 b^2+6a^2 c^2+6b^2 c^2]+[8a^2 bc+8ab^2 c+8abc^2]
∵a^2 bc+ab^2 c+abc^2=abc(a+b+c)=(-1/3)*2=-2/3 (3)
∴10=[a^4+b^4+c^4]+[6a^2 b^2+6a^2 c^2+6b^2 c^2]-16/3
由(1)平方,得
1/4=(ab+bc+ac)^2=a^2 b^2+a^2 c^2+b^2 c^2+2a^2 bc+2ab^2 c+2abc^2
=a^2 b^2+a^2 c^2+b^2 c^2+2(a^2 bc+ab^2 c+abc^2)
=a^2 b^2+a^2 c^2+b^2 c^2-4/3
∴a^2 b^2+a^2 c^2+b^2 c^2=1/4+4/3=19/12
∴10=[a^4+b^4+c^4]+6*(19/12)-16/3
∴a^4+b^4+c^4=35/6
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