已知O为坐标原点,点A,B分别在x,y轴上运动,且|AB|=8,动点P满足向量AP=0.6向量PB,设点P的轨迹为曲线C,定点M（4,0）,直线PM交曲线C于另外一点Q.求（1）曲线C的方程（2）三角形OPQ面积的最大值

已知O为坐标原点,点A,B分别在x,y轴上运动,且|AB|=8,动点P满足向量AP=0.6向量PB,设点P的轨迹为曲线C,定点M（4,0）,直线PM交曲线C于另外一点Q.求（1）曲线C的方程（2）三角形OPQ面积的最大值
已知O为坐标原点,点A,B分别在x,y轴上运动,且|AB|=8,动点P满足向量AP=0.6向量PB,设点P的轨迹为曲线C,定点M（4,0）,直线PM交曲线C于另外一点Q.求（1）曲线C的方程（2）三角形OPQ面积的最大值

已知O为坐标原点,点A,B分别在x,y轴上运动,且|AB|=8,动点P满足向量AP=0.6向量PB,设点P的轨迹为曲线C,定点M（4,0）,直线PM交曲线C于另外一点Q.求（1）曲线C的方程（2）三角形OPQ面积的最大值
（1）点A,B分别在x,y轴上运动
设A（x,0） B(0,y) P(x0,y0)
|AB|=8
√(x^2+y^2)=8
向量AP=(x0-x,y0) 向量PB=(-x0,y-y0)
向量AP=0.6向量PB
(x0-x,y0)=0.6(-x0,y-y0)
x0-x=-0.6x0
y0=0.6(y-y0)
x=8/5 x0 ①
y=8/3 y0 ②
将①②代入√(x^2+y^2)=8
得 x0^2 /25+ y0^2/9 =16
曲线C的轨迹为椭圆,方程为：x^2/25+y^2/9=1
（2）x^2/25+y^2/9=1
9x^2+25y^2=225 ③
a=5 b=3
c=4
M点是椭圆的右焦点
当PQ⊥ x轴时
P(4,9/5) Q(4,-9/5)
PQ=18/5
S△OPQ=1/2 *OM*PQ=0.5*4* 18/5=36/5
设P(x1,y1) Q(x2,y2)
lPQ的方程为：y=k(x-4)(k存在且k≠ 0）④
将④代入③得：
9x^2+25k^2(x-4)^2=225
化简得：
（25k^+9)x^2 -200k^2 x+400k^2-228=0
x1+x2=200k^2/（25k^+9)
y1+y2=k(x1-4)+k(x2-4)=k(x1+x2)-8k
=200k^3/（25k^+9) -8k
S△OPQ=S△OPM+S△OQM
=1/2 *OM*｜y1｜+1/2 *OM*｜y2｜
=1/2 *OM*(｜y1｜+｜y2｜)

【解析】（1）设A（a，0），B（0，b），P（x，y）
向量AP=0.6向量PB，∴a=(8/5)x,b=(8/3)y
代入√a²+b²=8
∴x²/25+y²/9=1,即为曲线C的方程。
（2）由题意得，直线L与C交于P、Q两点。
设P（x1，y1），Q（x2，y2）
S△OPQ=½×4×|y1-...

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【解析】（1）设A（a，0），B（0，b），P（x，y）
向量AP=0.6向量PB，∴a=(8/5)x,b=(8/3)y
代入√a²+b²=8
∴x²/25+y²/9=1,即为曲线C的方程。
（2）由题意得，直线L与C交于P、Q两点。
设P（x1，y1），Q（x2，y2）
S△OPQ=½×4×|y1-y2|=2|y1-y2|
∵该直线斜率有可能不存在，但斜率不可能得0
∴设L：x=ty+4 ①
将①与C的方程联立得到一关于y的方程：（9t²+25）y²+72ty-81=0
∵|y1-y2|=√[(y1+y2)²-4y1y2] ②
用韦达定理代②式，得
|y1-y2|=10√（t²+1）/(t²+25/9)
∴S=20√（t²+1）/(t²+25/9)=20√（t²+1）/(t²+1+16/9)=20/（√(t²+1）+16/（9√(t²+1））)
由均值不等式得，当且仅当t²=7/9时，√(t²+1）+16/（9√(t²+1））取得最小值8/3
∴Smax=15/2
希望能帮到各位知友，我在网上找了半天这道题，都是做到一半就没了。所以我自己冥思苦想，做出了答案！

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（1）设A（a，0），B（0，b），P（x，y），
则AP=（x-a，y），PB=（-x，b-y），
∵AP=35PB，∴x-a=-
35xy=
35(b-y)​∴a=85x，b=83y．
又|AB|=a2+b2=8，∴x225+
y29=1．
∴曲线C的方程为x225+
y29=1．
（2）由（1）可知，M（4，...

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（1）设A（a，0），B（0，b），P（x，y），
则AP=（x-a，y），PB=（-x，b-y），
∵AP=35PB，∴x-a=-
35xy=
35(b-y)​∴a=85x，b=83y．
又|AB|=a2+b2=8，∴x225+
y29=1．
∴曲线C的方程为x225+
y29=1．
（2）由（1）可知，M（4，0）为椭圆的右焦点，
设直线PM方程为x=my+4，
由x225 +
y29=1x=my+4​消去x得
（9m2+25）y2+72my-81=0，
∴|yP-yQ|=(72m)2+4×(9m2+25) × 819m2+25=90
m2+19m2+25．
∴S△OPQ=12|OM||yP-yQ|=2×90
m2+19m2+25=20
m2+1m2+
259=20
m2+1m2+1+
169=20m2+1 +
169
m2+1≤2083=152，
当m2+1=169
m2+1，
即m=±73时，△OPQ的面积取得最大值为152，
此时直线方程为3x±7y-12=0．

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