证明:对於正数a、b、c,如果方程c^2x^2+(a^2-b^2-c^2)x+b^2=0没有实数根,那麼,以a、b、c为边长的线段能够组成一个三角形求过程
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/19 13:16:42
证明:对於正数a、b、c,如果方程c^2x^2+(a^2-b^2-c^2)x+b^2=0没有实数根,那麼,以a、b、c为边长的线段能够组成一个三角形求过程
证明:对於正数a、b、c,如果方程c^2x^2+(a^2-b^2-c^2)x+b^2=0没有实数根,那麼,以a、b、c为边长的线段能够组成一个三角形
求过程
证明:对於正数a、b、c,如果方程c^2x^2+(a^2-b^2-c^2)x+b^2=0没有实数根,那麼,以a、b、c为边长的线段能够组成一个三角形求过程
△=(a^2-b^2-c^2)^2-4b^2c^2
=(a^2-(b^2+c^2-2bc))(a^2-(b^2+c^2+2bc))
=(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)(a-b-c)<0
a+b+c>0
若a-b+c<0 则a-b-c<0 b>c 则a+b-c>0 则△>0 所以a-b+c>0 同理
a+b-c>0
所以能够构成三角形(两边之和大于第三边)
要证明a,b,c能组成三角形需证:a+b>c,a+c>b,b+c>a;
由上式可得:(a^2-b^2-c^2)^2-4b^2c^2<0;
|a^2-b^2-c^2|<2bc;
分两种情况:
1 a^2-b^2-c^2>0; 2 a^2-b^2-c^2<0;
a^2-b^2-c^2<2bc; ...
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要证明a,b,c能组成三角形需证:a+b>c,a+c>b,b+c>a;
由上式可得:(a^2-b^2-c^2)^2-4b^2c^2<0;
|a^2-b^2-c^2|<2bc;
分两种情况:
1 a^2-b^2-c^2>0; 2 a^2-b^2-c^2<0;
a^2-b^2-c^2<2bc; -a^2+b^2+c^2<2bc;
a^2<(b+c)^2; |b-c| ab 和 a+b>c
得证!
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