三道高中不等式题帮下忙,谢谢啦!
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 19:18:39
三道高中不等式题帮下忙,谢谢啦!
三道高中不等式题
帮下忙,谢谢啦!
三道高中不等式题帮下忙,谢谢啦!
39.分子1+cos2x+8sinx^2
=1+1-2sinx^2+8sinx^2
=2+6sinx^2
=2sinx^2+2cosx^2+6sinx^2
=8sinx^2+2cosx^2
分母sin2x
=2sinxcosx
所以原式=(8sinx^2+2cosx^2)/(2sinxcosx)
=4sinx/cosx+cosx/sinx
=4tanx+cotx
=(2√tanx-√cotx)^2+4(00)
当2√tanx=√cotx时,tanx=0.5,此时x∈(0度,90度)
即当tanx=0.5时原式有最大值4
2.x^2+y^2/2=1
2x^2+y^2=2
2x^2+(1+y^2)=3
因为x,y均为正实数,故可令x=a,√(1+y^2)=b(显然a>0,b>0)
那么题目变为2x^2+(1+y^2)=2a^2+b^2=3
求ab的最小值
2a^2+b^2=3
(√2a-b)^2-2√2ab=3
2√2ab=3-(√2a-b)^2
(√2a-b)^2≥0
3-(√2a-b)^2≤3
当且仅当√2a=b时,2√2ab取得最大值3,ab最大值为3√2/4
即当√2x=√(1+y^2)时,x√(1+y^2)有最大值3√2/4
3.已知两数的和,求积的最大值
已知两数的积,求和的最小值,这是同类型的问题
a+b=1
(a+1/2)+(b+1/2)=2,a≥0,b≥0
[√(a+1/2)-√(b+1/2)]^2+2√(a+1/2)√(b+1/2)=2
当且仅当√(a+1/2)=√(b+1/2)时,√(a+1/2)√(b+1/2)有最大值1
[√(a+1/2)+√(b+1/2)]^2=(a+1/2)+(b+1/2)+2√(a+1/2)√(b+1/2)
=2+2√(a+1/2)√(b+1/2)
a≥0,b≥0
所以√(a+1/2)√(b+1/2)≥1/2
当√(a+1/2)=√(b+1/2)时,√(a+1/2)√(b+1/2)有最大值1
所以1/2≤√(a+1/2)√(b+1/2)≤1
所以2≤[√(a+1/2)+√(b+1/2)]^2≤4
即√2≤√(a+1/2)+√(b+1/2)≤2
39题是a
看不清啊
39，f(x)=[1+cos2x+8sin(x^2)]/sin2x=[2+6sin(x^2)]/2sinxcosx
=[1+3sin(x^2)]/sinxcosx=ctgx+4tgx=1/tgx+3tgx
f(x)=1/tgx+3tgx=[(1/tgx)^1/2-(3tgx)^1/2]^2+2√3
即当tgx=√3时f(x)取最小值为2√3（tgx>0）
40,x^...
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39，f(x)=[1+cos2x+8sin(x^2)]/sin2x=[2+6sin(x^2)]/2sinxcosx
=[1+3sin(x^2)]/sinxcosx=ctgx+4tgx=1/tgx+3tgx
f(x)=1/tgx+3tgx=[(1/tgx)^1/2-(3tgx)^1/2]^2+2√3
即当tgx=√3时f(x)取最小值为2√3（tgx>0）
40,x^2+(y^2)/2=1
则有：1+y^2=3-2x^2
∴x√(1+y^2)=√(3x^2-2x^4)=√[9/8-2(x^2-3/4)^2]
当x=√3/2时，x√(1+y^2)有最大值，最大值为3√2/4
41，a≥0，b≥0, a+b=1
∴1≥a≥0，1≥b≥0
∴令f(a)=√（a+1/2）+√(b+1/2)=√（a+1/2）+√(1-a+1/2)
令x=3/2-a (3/2≥x≥1/2)
则有f(x)=√（2-x）+√x
f(x)^2=2-x+x+2√x(2-x)=2+2√x(2-x)=2+2√[1-(x-1)^2]
所以f(x)的最大值为2，当x=1即a=1/2时取得
∴√（a+1/2）+√(b+1/2)的最大值为2，a=b=1/2时取得
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