已知在数列{an}中,a1=2,a(n+1)-3a(n)=3n,求an

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/22 14:43:35
已知在数列{an}中,a1=2,a(n+1)-3a(n)=3n,求an已知在数列{an}中,a1=2,a(n+1)-3a(n)=3n,求an已知在数列{an}中,a1=2,a(n+1)-3a(n)=3

已知在数列{an}中,a1=2,a(n+1)-3a(n)=3n,求an
已知在数列{an}中,a1=2,a(n+1)-3a(n)=3n,求an

已知在数列{an}中,a1=2,a(n+1)-3a(n)=3n,求an
这是一道构造等比数列的题,而且要用到两次构造.
具体方法如下:
因为a(n+1)-3a(n)=3n
所以a(n+1)=3a(n)+3n
设a(n+1)+k=3(a(n)+k)
则a(n+1)=3a(n)+2k
所以2k=3n
k=(3/2)n
所以a(n+1)+(3/2)n=3(a(n)+(3/2)n)
所以a(n+1)+(3/2)(n+1)=3(a(n)+(3/2)n)+3/2
设b(n)=a(n)+(3/2)n
则b(n+1)=3b(n)+3/2
所以b(n+1)+3/4=3(b(n)+3/4) (方法同第3~7行,故省略)
所以b(n)为等比数列,公比为3
所以b(n)=b(1)*3^(n-1)
因为b(n)=a(n)+(3/2)n
所以b(1)=a(1)+3/2=2+3/2=7/2
所以b(n)=(7/2)*3^(n-1)
所以a(n)=b(n)-(3/2)n=(7/2)*3^(n-1)-(3/2)n
答案:a(n)=(7/2)*3^(n-1)-(3/2)n