用数学归纳法证明 7^n - 4^n - 3^n 可以被12整除.

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/07/10 07:59:02

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用数学归纳法证明 7^n - 4^n - 3^n 可以被12整除.
设a[n] = 7^n-4^n-3^n.
n = 1时,a[1] = 0被12整除,结论成立.
假设n = k时a[k]被12整除.
a[k+1] = 7^(k+1)-4^(k+1)-3^(k+1)
= 7·7^k-4·4^k-3·3^k
= 7(a[k]+4^k+3^k)-4·4^k-3·3^k
= 7a[k]+3·4^k+4·3^k
= 7a[k]+12·(4^(k-1)+3^(k-1)).
由a[k]被12整除,得a[k+1] = 7a[k]+12·(4^(k-1)+3^(k-1))也被12整除.
即n = k+1时结论成立.
因此命题对任意正整数n成立.

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