已知椭圆C的方程为x^2/a^2+Y^2/2=1(a>0),其焦点在x轴上,点Q(√2/2,√7/2)为椭圆上一点.(1)求该椭圆的标（2)设动点P(x0,y0）,满足向量OP=向量OM+2向量ON,其中M、N是椭圆C上的点,直线OM与ON的斜率之积为1/2,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 04:06:47
已知椭圆C的方程为x^2/a^2+Y^2/2=1(a>0),其焦点在x轴上,点Q(√2/2,√7/2)为椭圆上一点.(1)求该椭圆的标（2)设动点P(x0,y0）,满足向量OP=向量OM+2向量ON,其中M、N是椭圆C上的点,直线OM与ON的斜率之积为1/2,
已知椭圆C的方程为x^2/a^2+Y^2/2=1(a>0),其焦点在x轴上,点Q(√2/2,√7/2)为椭圆上一点.
(1)求该椭圆的标（2)设动点P(x0,y0）,满足向量OP=向量OM+2向量ON,其中M、N是椭圆C上的点,直线OM与ON的斜率之积为1/2,求证：x0^2+2y0^2为定值.
已知椭圆C的方程为x^2/a^2+Y^2/2=1(a>0),其焦点在x轴上,点Q(√2/2,√7/2)为椭圆上一点.(1)求该椭圆的标（2)设动点P(x0,y0）,满足向量OP=向量OM+2向量ON,其中M、N是椭圆C上的点,直线OM与ON的斜率之积为1/2,
(1) Q点带入椭圆C方程可得
(√2/2)^2/a^2+(√7/2)^2/2=1,解得a=2
∴椭圆方程为：x^2/4+y^2/2=1
(2) 设向量OP=(x0,y0),向量OM=(x1,y1),向量ON=(x2,y2)
∵向量OP=向量OM+2向量ON
∴x0=x1+2x2,y0=y1+2y2
又∵点M,N在椭圆C上,∴有：
x1^2+2y1^2=4,x2^2+2y2^2=4
又k(OM)*k(ON)=y1/x1*y2/x2=-1/2
∴x1x2+2y1y2=0
∴x0^2+2y0^2
=(x1+2x2)^2+2(y1+2y2)^2
=(x1^2+4x1x2+4x2^2)+2(y1^2+4y1y2+4y2^2)
=(x1^2+2y1^2)+4(x1x2+2y1y2)+4(x2^2+2y2^2)
=4+4*4+4*0
=20
即x0^2+2y0^2为定值