如图,在半径为R、圆心角为60°的扇形AB狐上任取一点P,作扇形的内接矩形PNMQ,使点Q在OA上,点M,N在OB上,求这个矩形面积的最大值及相应的∠AOP的值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 00:39:53
如图,在半径为R、圆心角为60°的扇形AB狐上任取一点P,作扇形的内接矩形PNMQ,使点Q在OA上,点M,N在OB上,求这个矩形面积的最大值及相应的∠AOP的值.
如图,在半径为R、圆心角为60°的扇形AB狐上任取一点P,作扇形的内接矩形PNMQ,使点Q在OA上,点M,N在OB上,求这个矩形面积的最大值及相应的∠AOP的值.
如图,在半径为R、圆心角为60°的扇形AB狐上任取一点P,作扇形的内接矩形PNMQ,使点Q在OA上,点M,N在OB上,求这个矩形面积的最大值及相应的∠AOP的值.
∠AOB=π/3,OA=OB=OP=R
连接OP,设∠BOP=X
ON=OPcos∠BOP=RcosX
MQ=PN=OPsin∠BOP=RsinX
OM=QM/tan∠AOB=RsinX/tanπ/3=RsinX/根号3
PQ=NM=ON-OM=RcosX-RsinX/根号3
用f(x)表示矩形PNMQ的面积：
f(x)=PQ*MQ=【RcosX-RsinX/根号3】* RsinX
=R^2【sinXcosX-sin^2X/根号3】
=R^2 /根号3 *【根号3 sinXcosX-sin^2X】
=R^2 /根号3 *【根号3/2 * sin2x-(1-cos2X)/2】
=R^2 /根号3 *【根号3/2 * sin2x+1/2 cos2X-1/2】
=R^2 /根号3 *【sin2xcosπ/6+cos2Xsinπ/6-1/2】
=R^2 /根号3 *【sin(2x+π/6)-1/2】
当sin(2x+π/6)=1时,f(x)max=R^2 /根号3 *【1-1/2】=R^2/(2根号3)=根号3/6 R^2
此时：2X+π/6=π/2 （因为X∈（0,π/3）
x=π/6,即∠BOP=π/6
∠AOP=∠AOB-∠BOP=π/3-π/6=π/6
∴矩形面积的最大值根号3/6 R^2,此时∠AOP为π/6即30°
设AQ=r PN=b
由题意
∵内接矩形PNMQ
∴PQ‖OB PN=QM=b PN⊥OB
∴ 由扇形性质：弧AP是以Q为圆心、圆心角为60°的扇形
即PQ=AQ=r
则矩形PNMQ的面积S=r*b=r*（R-r）sin60°
...
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设AQ=r PN=b
由题意
∵内接矩形PNMQ
∴PQ‖OB PN=QM=b PN⊥OB
∴ 由扇形性质：弧AP是以Q为圆心、圆心角为60°的扇形
即PQ=AQ=r
则矩形PNMQ的面积S=r*b=r*（R-r）sin60°
根据最大值定理
当r=R-r时 矩形面积有Smax
即当r=R/2时 Smax=sin60°*R^2/4
∴PN=R/2
又 ∵P点在圆弧AB上
∴OP=R
∵PN⊥OP PN=R/2
∴ △OPN中 ∠NOP=∠BOP=30°
∴∠AOP = 60°-30°=30°
所以 S矩形max=sin60°*R^2/4
∠AOP=30°
收起