如图,AM是圆O的直径,过圆O上一点B作BN⊥AM于点N,其延长线交圆O于点C,弦CD交AM于点E.（1）如果CD⊥AB,求证：EN=NM；（2）如果弦CD交AB于点F,且CD=AB,求证：CE²=EF·ED；（3）如果弦CD、AB的的延长线
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 16:07:17
如图,AM是圆O的直径,过圆O上一点B作BN⊥AM于点N,其延长线交圆O于点C,弦CD交AM于点E.（1）如果CD⊥AB,求证：EN=NM；（2）如果弦CD交AB于点F,且CD=AB,求证：CE²=EF·ED；（3）如果弦CD、AB的的延长线
如图,AM是圆O的直径,过圆O上一点B作BN⊥AM于点N,其延长线交圆O于点C,弦CD交AM于点E.（1）如果CD⊥AB,求证：EN=NM；（2）如果弦CD交AB于点F,且CD=AB,求证：CE²=EF·ED；（3）如果弦CD、AB的的延长线交于点F,且CD=AB,那么（2）的结论是否仍成立?若成立,请给予证明；若不成立,请说明理由.
如图,AM是圆O的直径,过圆O上一点B作BN⊥AM于点N,其延长线交圆O于点C,弦CD交AM于点E.（1）如果CD⊥AB,求证：EN=NM；（2）如果弦CD交AB于点F,且CD=AB,求证：CE²=EF·ED；（3）如果弦CD、AB的的延长线
（1）证明：∵AM是⊙O的直径,
∴∠ABM=90°．
∵CD⊥AB,
∴BM∥DC．
∴∠NBM=∠NCE．
∵BN=NC（ON是弦心距）,
∴△NEC≌△NMB（ASA）．
∴EN=NM．
（2）证明：∵CD=AB,
∴ ADB^= DBC^．
∴ AD^= BC^．
∴∠ACD=∠BDC．
∵∠ACD=∠ABE,
∴∠BDC=∠ABE,∠BEF=∠BEF．
∴△FEB∽△BED．
∴EF•DE=BE2=CE2．
（3）如图,（2）的结论仍成立．
证明：∵AM⊥BC,
∴BE=CE,AB=AC．
∴∠1=∠2,∠3=∠4．
∵AB=CD,
∴∠4=∠DBC．
∴∠3=∠DBC=∠2+∠5．
又∵∠3=∠F+∠1,∴∠F=∠5．
∵∠BED=∠FEB,∴△BDE∽△FBE．
∴BE：EF=ED：BE,
∴BE2=EF•ED．
∴CE2=EF•ED．