已知cosx+siny=1/2,求siny-cos^2x的最值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 06:09:55
已知cosx+siny=1/2,求siny-cos^2x的最值
已知cosx+siny=1/2,求siny-cos^2x的最值
已知cosx+siny=1/2,求siny-cos^2x的最值
换元法：
siny=0.5-cosx
设f=siny-cos^2x=0.5-cosx-cos^2x
令t=cosx,则 t 的范围是【-1,1】
f=0.5-t-t^2 (这样就成为了已知自变量取值范围求二次函数最值的题目)
易得f在【-1,1】内的最大值为0.75.
cosx+siny=1/2
cosx=1/2-siny
siny-cos²x=siny-(1/2-siny)²
=siny-sin²y+siny-1/4
=-sin²y+2siny-1/4
=-(siny-1)²+3/4
当siny=1时，siny-cos²x有最大值3/4；当siny=-1时，siny-cos²x有最小值-13/4。
其实就是换个元，转化成函数，求出定义域那么最值也就明了了
原式=siny-2cos²x+1
由题意siny=1/2-cosx
原式=1/2-cosx-2cos²x+1
=-2(cos²x+1/2cosx+1/16-1/16)+3/2
=-2(cosx+1/4)²+13/8
-1≤siny=1/2-cosx≤1<...
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其实就是换个元，转化成函数，求出定义域那么最值也就明了了
原式=siny-2cos²x+1
由题意siny=1/2-cosx
原式=1/2-cosx-2cos²x+1
=-2(cos²x+1/2cosx+1/16-1/16)+3/2
=-2(cosx+1/4)²+13/8
-1≤siny=1/2-cosx≤1
-1/2≤cosx≤1
∴原式的最大值为13/8，此时cosx=-1/4
最小值为-3/2，此时cosx=1
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设 cosx = a，siny = b
则 a + b = 1/2
z=siny-cos^2x=b-a^2=1/2-a-a^2 = -(a+1/2)^2+3/4 是抛物线
-1≤b≤1 得 -1≤1/2-a≤1 -1/2 ≤ a ≤ 3/2 又本身 -1≤ a ≤ 1
所以 -1/2 ≤ a ≤ ...
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设 cosx = a，siny = b
则 a + b = 1/2
z=siny-cos^2x=b-a^2=1/2-a-a^2 = -(a+1/2)^2+3/4 是抛物线
-1≤b≤1 得 -1≤1/2-a≤1 -1/2 ≤ a ≤ 3/2 又本身 -1≤ a ≤ 1
所以 -1/2 ≤ a ≤ 1
在此区间 抛物线在对称轴右边，单调递减
zmax = z(-1/2) = 3/4
zmin = z(1) = -3/2
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那个满意答案是有错误的！！！
t根本不可能取 -1 的，怎么能说是正确的！！！！！！！！！
另外，不知道为什么楼主觉得 3/4 ≠ 0.75
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