已知直线l：x+y=8,点F1（—4,0）、F2（4,0）,在l上取一点M,过M以F1、F2为焦点作椭圆.问M在何处时,椭圆的长轴最短,并求出此时椭圆的方程.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 15:11:55
已知直线l：x+y=8,点F1（—4,0）、F2（4,0）,在l上取一点M,过M以F1、F2为焦点作椭圆.问M在何处时,椭圆的长轴最短,并求出此时椭圆的方程.
已知直线l：x+y=8,点F1（—4,0）、F2（4,0）,在l上取一点M,过M以F1、F2为焦点作椭圆.
问M在何处时,椭圆的长轴最短,并求出此时椭圆的方程.
已知直线l：x+y=8,点F1（—4,0）、F2（4,0）,在l上取一点M,过M以F1、F2为焦点作椭圆.问M在何处时,椭圆的长轴最短,并求出此时椭圆的方程.
做F2（4,0）关于直线x+y=8的对称点A（m,n）,连接F1A,与直线x+y=8的交点即为满足条件的M,
F2A的中点坐标为：（2+m/2,n/2）,其在x+y=8上,代入有：
2+m/2+n/2=8,∴m+n=12 ①
又F2A与直线x+y=8垂直,则F2A的斜率k=1,即n/(m-4)=1,∴n=m-4 ②
联立①、②得m=8,n=4,即A（8,4）,
∴F1A的直线方程为：x-3y+4=0,联立其与x+y=8,解得x=5,y=3,即M（5,3）,
此时椭圆的长轴长2a=|F1A|=4√10
∴a=2√10,
∴a²=40,又c=4,∴b²=a²-c²=40-16=24
∴椭圆方程为：x²/40+y²/24=1
作F2关于直线l：x+y=8的对称点A（8，4），连接A，F1，交直线l与B，则B是椭圆上的点，2a=|AF2|=，c=4，所以，椭圆方程为：x2/40+y2/24=1
这样问题就转化为，在直线L：x+y=8上求点M，使MF1+MF2最小，这个点你应该是求过的吧。
大致的方法是，作F2关于直线L的对称点，设为P，连接PF1，设PF1与直线L的交点是M，这时候，MF1+MF2=MF1+MP=PF1，是线段，为所有长轴中最短的！
下面求出P点坐标为（8，4），用两点间距离公式就可以求得
PF1=12√2，椭圆长轴2a=4√10，a=2√1...
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这样问题就转化为，在直线L：x+y=8上求点M，使MF1+MF2最小，这个点你应该是求过的吧。
大致的方法是，作F2关于直线L的对称点，设为P，连接PF1，设PF1与直线L的交点是M，这时候，MF1+MF2=MF1+MP=PF1，是线段，为所有长轴中最短的！
下面求出P点坐标为（8，4），用两点间距离公式就可以求得
PF1=12√2，椭圆长轴2a=4√10，a=2√10，a^2=40,c=4
b^2=a^2-c^2=40-16=24
即所求的椭圆方程是x^2/40+y^2/24=1
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