已知f(x)=2mx+m2+2,m≠0,m∈R,x∈R,若|x1|+|x2|=1,则f(x1)/f(x2)的取值范围f(x)=2mx+m²+2,m≠0,m∈R,x∈R,若|x1|+|x2|=1,则f(x1)/f(x2)的取值范围是

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 07:55:55
已知f(x)=2mx+m2+2,m≠0,m∈R,x∈R,若|x1|+|x2|=1,则f(x1)/f(x2)的取值范围f(x)=2mx+m²+2,m≠0,m∈R,x∈R,若|x1|+|x2|=

已知f(x)=2mx+m2+2,m≠0,m∈R,x∈R,若|x1|+|x2|=1,则f(x1)/f(x2)的取值范围f(x)=2mx+m²+2,m≠0,m∈R,x∈R,若|x1|+|x2|=1,则f(x1)/f(x2)的取值范围是
已知f(x)=2mx+m2+2,m≠0,m∈R,x∈R,若|x1|+|x2|=1,则f(x1)/f(x2)的取值范围
f(x)=2mx+m²+2,m≠0,m∈R,x∈R,若|x1|+|x2|=1,则f(x1)/f(x2)的取值范围是

已知f(x)=2mx+m2+2,m≠0,m∈R,x∈R,若|x1|+|x2|=1,则f(x1)/f(x2)的取值范围f(x)=2mx+m²+2,m≠0,m∈R,x∈R,若|x1|+|x2|=1,则f(x1)/f(x2)的取值范围是

[1-√2/2,2+√2]。
设g(x1,x2,m)=(2mx1+m²+2)/(2mx2+m²+2),则g(-x1,-x2,-m)=g(x1,x2,m)。|x1|+|x2|=1在平面上相当于4根线段,拼成一个旋转45度的正方形,因此实质上我们只要考虑4根线段里面的位于x>=0半平面里的2根就行了,另外2根和这2根关于原点对称,值域完全相同。
分析下f(x)的符号...

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[1-√2/2,2+√2]。
设g(x1,x2,m)=(2mx1+m²+2)/(2mx2+m²+2),则g(-x1,-x2,-m)=g(x1,x2,m)。|x1|+|x2|=1在平面上相当于4根线段,拼成一个旋转45度的正方形,因此实质上我们只要考虑4根线段里面的位于x>=0半平面里的2根就行了,另外2根和这2根关于原点对称,值域完全相同。
分析下f(x)的符号就知道,因为|x1|+|x2|=1,所以|x|<=1,f(x)=1+(1-x²)+(m-x)²>=1>0,f(x)恒正。
看下x1+x2=1(0<=x1<=1)这段,则f(x1)+f(x2)=2m+2m²+4,故f(x1)/f(x2)=(f(x1)+f(x2))/f(x2)-1=(2m+2m²+4)/f(x2)-1。因为分母f(x2)恒正且关于x2单调,故f(x1)/f(x2)关于x2单调,无论是单调增还是单调减,值域只要看下端点(x1,x2)=(0,1)(1,0)的情况就可以了。
看下x1-x2=1(0<=x1<=1)这段,则f(x1)-f(x2)=2m,故f(x1)/f(x2)=(f(x1)-f(x2))/f(x2)+1=2m/f(x2)+1。因为分母f(x2)恒正且关于x2单调,故f(x1)/f(x2)关于x2单调,无论是单调增还是单调减,值域只要看下端点(x1,x2)=(0,-1)(1,0)的情况就可以了。
前面已经分析过了,4根线段只要考虑这2根就行,所以后面2根就不用分析了。因为g(0,1,-m)=g(0,-1,m),所以(0,1)和(0,-1)的值域其实是一样的。所以3个端点里只要考虑(0,1)和(1,0)就行了,而且g(0,1,m)*g(1,0,m)=1,所以实际上只要看(0,1)就行了,(1,0)的值域直接求倒数就行了。
g(0,1,m)=(m²+2)/(2m+m²+2)=1-2m/(2m+m²+2)=1-2/(2+m+2/m)。
在m>=0的情况下,m+2/m>=2√2;在m<=0的情况下,m+2/m<=-2√2。
m>=0时,g(0,1,m)>=1-2(2+2√2)=2-√2;m<=0时,g(0,1,m)<=2+√2。
即g(0,1,m)的值域为[2-√2,2+√2]。
所以g(1,0,m)的值域(直接求倒数)为[1-√2/2,1+√2/2]。
两个值域一合并,就是最终结果[1-√2/2,2+√2]。

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f(x)是一次函数
m<0是减函数
m>0是增函数
当m>0
x1=0
x2=-1
f(x1)/f(x2)=(m^2+2)/(m^2-2m+2)=1+2m/(m^2-2m+2)=1+2/(m+2/m-2)
m+2/m>=2√2(m=√2取等)
m+2/m-2>=2√2-2
1+2/(m+2/m-2)<=2+√2(最大值)

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f(x)是一次函数
m<0是减函数
m>0是增函数
当m>0
x1=0
x2=-1
f(x1)/f(x2)=(m^2+2)/(m^2-2m+2)=1+2m/(m^2-2m+2)=1+2/(m+2/m-2)
m+2/m>=2√2(m=√2取等)
m+2/m-2>=2√2-2
1+2/(m+2/m-2)<=2+√2(最大值)
x1=-1
x2=0
f(x1)/f(x2)=1-2/(m+2/m)>=1-√2/2(最小值)
当m<0
x1=1
x2=0
f(x1)/f(x2)=1+2/(m+2/m)=1-2/(-m-2/m)>=1-√2/2(最小值)
x=0
x2=1
f(x1)/f(x2)=1-2/(m+2/m+2)=1+2/(-m-2/m-2)<=2+√2(最大值)
综上无论m的正负,f(x1)/f(x2)取值范围
[1-√2/2,2+√2]

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f(x1)/f(x2)的取值范围为:(-2|m|+m^2+2)/(m^2+2)≦f(x1)/f(x2)≦(m^2+2)/(-2|m|+m^2+2),由于-2|m|+m^2+2=(|m|-1)^2+1>0、m^2+2>0,所以f(x1)/f(x2)>0;另外f(x1)/f(x2)的取值范围只和m的绝对值有关,令△=(m^2+2)/(-2|m|+m^2+2)-(-2|m|+m^2+2)/(m^2+2)...

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f(x1)/f(x2)的取值范围为:(-2|m|+m^2+2)/(m^2+2)≦f(x1)/f(x2)≦(m^2+2)/(-2|m|+m^2+2),由于-2|m|+m^2+2=(|m|-1)^2+1>0、m^2+2>0,所以f(x1)/f(x2)>0;另外f(x1)/f(x2)的取值范围只和m的绝对值有关,令△=(m^2+2)/(-2|m|+m^2+2)-(-2|m|+m^2+2)/(m^2+2),则当|m|→+∞或|m|→0时,△→0,f(x1)/f(x2)→1;当|m|=√2时,△取最大,此时1-√2/2≦f(x1)/f(x2)≦2+√2。

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不妨以|x1|+|x2|=1的的取值极值分情况讨论:
1.x1=x2时,f(x1)/f(x2)=1
2.x1=1, x2=0时, f(x1)/f(x2)=(m2+2m+2)/(m2+2)=g(m)
g(m)=(m2+2+2m)/(m2+2)=1+2m/(m^2+2)=1+2/(m+2/m)
极值点在m=-V2,V2处,g(m)∈[1-V2/2,1+V2/2]

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不妨以|x1|+|x2|=1的的取值极值分情况讨论:
1.x1=x2时,f(x1)/f(x2)=1
2.x1=1, x2=0时, f(x1)/f(x2)=(m2+2m+2)/(m2+2)=g(m)
g(m)=(m2+2+2m)/(m2+2)=1+2m/(m^2+2)=1+2/(m+2/m)
极值点在m=-V2,V2处,g(m)∈[1-V2/2,1+V2/2]
3.x1=0, x2=1时
g(m)=(m2+2)/(m2+2m+2)=1-2m/(m^2+2m+2)=1-2/(m+2+2/m)
极值点在m=-V2,V2处,g(m)∈[2-V2,2+V2]
...
综合以上结果,f(x1)/f(x2)取值范围为[1-V2/2,2+V2]
文库中有原题和填空答案,但没有过程。

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