数列{a},a(1)=2,a(n+1)=4a(n)--3n+1,n属于正整数.证明{a(n)--n}是等比数列;求数列{a(n)}的前n项和s小()代表下标
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 16:33:11
数列{a},a(1)=2,a(n+1)=4a(n)--3n+1,n属于正整数.证明{a(n)--n}是等比数列;求数列{a(n)}的前n项和s小()代表下标
数列{a},a(1)=2,a(n+1)=4a(n)--3n+1,n属于正整数.证明{a(n)--n}是等比数列;求数列{a(n)}的前n项和s
小()代表下标
数列{a},a(1)=2,a(n+1)=4a(n)--3n+1,n属于正整数.证明{a(n)--n}是等比数列;求数列{a(n)}的前n项和s小()代表下标
大写字母后的小写字母代表下标
A(n+1)=4An-3n+1
A(n+1)-(n+1)=4An-3n+1-(n+1)
A(n+1)-(n+1)=4An-4n
A(n+1)-(n+1)=4(An-n)
所以 数列{An-n}是以4为公比的等比数列,首项(A1-1)=1
通项公式为：An-n=4^(n-1)
数列{An-n}前n项的和：Sn'=(1-4^n)/(1-4)=(4^n-1)/3
即：(A1-1)+(A2-2)+(A3-3)+...+(An-n)=(4^n-1)/3
所以 A1+A2+A3+...+An-(1+2+3+...+n)=(4^n-1)/3
所以 Sn=A1+A2+A3+...+An=(4^n-1)/3+n(n+1)/2
a(n+1)-(n+1)=4a(n)--3n+1-(n+1)
a(n+1)-(n+1)=4[a(n)-n]
[a(n+1)-(n+1)]/[a(n)-n]=4
[a(n)--n]是等比数列
Sn=(1-4^n)/(1-4)
=(1/3)*(4^n-1)
由a(n+1)=4a(n)--3n+1得a(n+1)-（n+1）=4{a(n)-n}
所以{a(n)--n}是等比数列
a(n)--n=4^(n-1) *(a1-1)=4^(n-1)
所以an=4^(n-1)+n
S=a1+a2+……+an
=2+（4+2）+……+{4^(n-1)+n}
={1+4+……+4^(n-1)}+（1+2+……+n）
=4^n/3-1/3+n^2/2+n/2
因为a(n+1)=4a(n)--3n+1
所以 a(n+1)-(n+1)=4(a(n)-n)
q=[a(n+1)-(n+1)]/(a(n)-n)=4 n>=1
所以{a(n)--n}是等比数列
因为a1=2
a1-1=1
a(n)-n=1*q^(n-1)=4^(n-1)
a(n)=n+4^(n-1)
s=1+2+3+...+n+4^0+4^1+...+4^(n-1)
s=(1+n)*n/2+4(1-4^n)/(1-4)
s=(1+n)*n/2+(4^(n+1)-4)/3