已知sinx+siny=1/3,求M=sinx-cos²y的最大值和最小值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 20:26:09
已知sinx+siny=1/3,求M=sinx-cos²y的最大值和最小值.
已知sinx+siny=1/3,求M=sinx-cos²y的最大值和最小值.
已知sinx+siny=1/3,求M=sinx-cos²y的最大值和最小值.
t=sinx.
siny = 1/3 - sinx = 1/3 - t,
M = sinx - [cosy]^2 = t - 1 + [siny]^2 = t - 1 + [1/3 - t]^2 = t - 1/3 - 2/3 + (t-1/3)^2
= (t-1/3)^2 + (t-1/3) + 1/4 - 1/4 - 2/3
= [t-1/3 + 1/2]^2 - 11/12
= [t + 1/6]^2 - 11/12,
t=sinx=-1/6时,M取得最小值-11/12,
t=sinx=1时,M取得最大值[1+1/6]^2 - 11/12 = 49/36 - 11/12 = 16/36 = 4/9
变式：sinx=1/3-siny
所以 sinx-(cosy)^2=(1/3-siny)-[1-(siny)^2]
=(siny)^2-siny-2/3=(siny-1/2)^2-1/4-2/3
因 siny∈[-1,1],
当siny=-1时,(siny-1/2)^2取得最大值为9/4，
sinx-(cosy)^2取得最大值4...
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变式：sinx=1/3-siny
所以 sinx-(cosy)^2=(1/3-siny)-[1-(siny)^2]
=(siny)^2-siny-2/3=(siny-1/2)^2-1/4-2/3
因 siny∈[-1,1],
当siny=-1时,(siny-1/2)^2取得最大值为9/4，
sinx-(cosy)^2取得最大值4/3。
当siny=1/2时,(siny-1/2)^2取得最小值为0，
sinx-(cosy)^2取得最小值-11/12。
收起
M=sinx-cos²y=sin²x+1/3sinx+1/9,
sinx∈[-1,1]，令，sinx=t
m=t2+1/3t+1/9.求导m'=2t+1/3
t在[-1，-1/6﹚递减，
﹙-1/6，1]，递增
最大值，m(1)=13/9
最小值，m(-1/6)=1/12
