如图,P是等边三角形ABC内的一点,连结PA,PB,PC,以BP为边变作∠PBQ＝60°,BQ＝BP,连结CQ【1】观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明猜想【2】若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，连结PQ，试判断△PQC的形状，说
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 22:05:08
如图,P是等边三角形ABC内的一点,连结PA,PB,PC,以BP为边变作∠PBQ＝60°,BQ＝BP,连结CQ【1】观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明猜想【2】若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，连结PQ，试判断△PQC的形状，说
如图,P是等边三角形ABC内的一点,连结PA,PB,PC,以BP为边变作∠PBQ＝60°,BQ＝BP,连结CQ
【1】观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明猜想
【2】若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，连结PQ，试判断△PQC的形状，说明理由
如图,P是等边三角形ABC内的一点,连结PA,PB,PC,以BP为边变作∠PBQ＝60°,BQ＝BP,连结CQ【1】观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明猜想【2】若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，连结PQ，试判断△PQC的形状，说
（1）猜想：AP＝CQ．证明如下：
在△ABP与△CBQ中,∵AB＝CB,BP＝BQ,∠ABC＝∠PBQ＝60°,所以△BCQ可以看作是△BAP绕点B顺时针旋转60°而得到的．∴AP＝CQ．
（2）由PA∶PB∶PC＝3∶4∶5,可设PA＝3a,PB=4a,PC=5a．
连接PQ,在△PBQ中,由于PB＝BQ＝4a,且∠PBQ＝60°．
∴△PBQ为正三角形．∴PQ＝4a．
于是在△PQC中,∵PQ2＋QC2＝16a2+9a2=25a2=PC2．
∴△PQC是直角三角形,∠PQC=90°．
1）相等
∵等边△ABC
∴AB = BC，∠ABC = 60°
∵∠PBQ = 60°
∴∠ABP = ∠CBQ
∵BP = BQ
∴△ABQ≌△CBQ
∴AP = CQ
2）直角三角形
证明：
∵∠PBQ = 60°，BP = BQ
∴△BPQ是等边三角形
∴PQ = BP
∵AP = CQ...
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1）相等
∵等边△ABC
∴AB = BC，∠ABC = 60°
∵∠PBQ = 60°
∴∠ABP = ∠CBQ
∵BP = BQ
∴△ABQ≌△CBQ
∴AP = CQ
2）直角三角形
证明：
∵∠PBQ = 60°，BP = BQ
∴△BPQ是等边三角形
∴PQ = BP
∵AP = CQ（第一题结论）
∴CQ：PQ：PC = PA:PB:PC=3:4:5
∴满足CQ²+PQ²=PC²
∴△PQC是直角三角形
收起
第一问 AP=CQ
因为BP=BQ 角BPQ=60
所以三角形BPQ为等边三角形
∠ABC=∠ABP+∠PBC=60
∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=60
所以∠ABP=∠CBQ
因为AB=BC BP=BQ
所以三角形ABP和三角形CBQ全等
所以AP=CQ
第二问 是直角三角形
设AP:BP:CP=3X:4X:5...
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第一问 AP=CQ
因为BP=BQ 角BPQ=60
所以三角形BPQ为等边三角形
∠ABC=∠ABP+∠PBC=60
∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=60
所以∠ABP=∠CBQ
因为AB=BC BP=BQ
所以三角形ABP和三角形CBQ全等
所以AP=CQ
第二问 是直角三角形
设AP:BP:CP=3X:4X:5X
所以AP=CQ=3X
因为三角形BPQ是等边三角形 所以BP=PQ=4X
3 4 5 是勾股数 所以3X 4X 5X也是勾股数 所以是直角三角形
收起
1.在△ABP与△CBQ中，∵AB＝CB，BP＝BQ，∠ABC＝∠PBQ＝60°．∴△ABP全等于△CBQ， ∴AP＝CQ． 2由PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，可设PA＝3a，PB=4a，PC=5a．
连接PQ，在△PBQ中，由于PB＝BQ＝4a，且∠PBQ＝60°．
∴△PBQ为正三角形．∴PQ＝4a．
于是在△PQC中，∵PQ2＋QC2＝16a2+9a2=25a2=PC2．
∴△PQC是直角三角形，∠PQC=90°．